IME / ITA ⇒ (ITA) Inequação Trigonométrica

[MORANGA]

Para x no intervalo [0,2pi], o conjunto de todas as soluções da inequação é o intervalo definido por:

Sen2x - Sen ( 3x- pi/2) > 0

Resposta : pi/10 < x < pi/2

[Rafa2604]

Para [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

no intervalo [tex3][0,2\pi][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][0,2\pi][/tex3]

, o conjunto de todas as soluções da inequação é o intervalo definido por:
[tex3]\sin(2x) - \sin ( 3x- \frac{\pi}{2}) > 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sin(2x) - \sin ( 3x- \frac{\pi}{2}) > 0[/tex3]

__________________________________________

[tex3]\sin(2x) - \sin ( 3x- \frac{\pi}{2}) > 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sin(2x) - \sin ( 3x- \frac{\pi}{2}) > 0[/tex3]

Utilizando as identidades trigonométricas: [tex3]\sin(x) = \cos( \frac{\pi}{2}-x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sin(x) = \cos( \frac{\pi}{2}-x)[/tex3]

, temos:
[tex3]\sin(2x) - \cos(3x) > 0 \;\; \rightarrow \;\; \sin(2x) > \cos(3x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sin(2x) - \cos(3x) > 0 \;\; \rightarrow \;\; \sin(2x) > \cos(3x)[/tex3]

Temos que: [tex3]\sin(2x) = \cos(\frac{\pi}{2} - 2x) \;\; \rightarrow \;\; cos(\frac{\pi}{2}-2x) > \cos(3x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sin(2x) = \cos(\frac{\pi}{2} - 2x) \;\; \rightarrow \;\; cos(\frac{\pi}{2}-2x) > \cos(3x)[/tex3]

Como [tex3]\cos(x) = \cos( \pm x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos(x) = \cos( \pm x)[/tex3]

, então temos: [tex3]\frac{\pi}{2} -2x > \pm 3x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\pi}{2} -2x > \pm 3x[/tex3]

Caso 1: [tex3]\frac{\pi}{2} -2x > 3x \;\; \rightarrow \;\; \frac{\pi}{2} > 5x \;\; \rightarrow \;\; x < \frac{\pi}{10}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\pi}{2} -2x > 3x \;\; \rightarrow \;\; \frac{\pi}{2} > 5x \;\; \rightarrow \;\; x < \frac{\pi}{10}[/tex3]

Caso 2: [tex3]\frac{\pi}{2} - 2x > -3x \;\; \rightarrow \;\; \frac{\pi}{2} > -x \;\; \rightarrow \;\; x < - \frac{\pi}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\pi}{2} - 2x > -3x \;\; \rightarrow \;\; \frac{\pi}{2} > -x \;\; \rightarrow \;\; x < - \frac{\pi}{2}[/tex3]

Alguém possui alguma ideia de como prosseguir?


Me baseei na resolução desse exercício: https://www.quora.com/How-do-I-solve-th ... in2x-cos3x

[Deleted User 23699]

Alguem poderia resolver?

[Planck]

A expressão está correta? Não seria:

[tex3]\sin 2x - \sin \left( 3x {\color{red}{+}}\frac{\pi}{2}\right) > 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sin 2x - \sin \left( 3x {\color{red}{+}}\frac{\pi}{2}\right) > 0[/tex3]

[Tassandro]

Temos
[tex3]\sin2x>\sin\left(3x-\frac{π}{2}\right)\implies 2x>3x-\frac{\pi}{2}\implies x< \frac{\pi}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sin2x>\sin\left(3x-\frac{π}{2}\right)\implies 2x>3x-\frac{\pi}{2}\implies x< \frac{\pi}{2}[/tex3]

Mas também devemos considerar que [tex3]\sin x=\sin(π-x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sin x=\sin(π-x)[/tex3]

Assim
[tex3]\sin2x>\sin\left(π-3x+\frac{π}{2}\right)\implies 2x> π-3x+\frac{π}{2}\implies5x>\frac{3π}{2}\implies x> \frac{3\pi}{10}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sin2x>\sin\left(π-3x+\frac{π}{2}\right)\implies 2x> π-3x+\frac{π}{2}\implies5x>\frac{3π}{2}\implies x> \frac{3\pi}{10}[/tex3]

Logo, nossa solução, já que [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

vai de 0 a 2π é [tex3]\boxed{\frac{3\pi}{10}< x < \frac{\pi}{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\frac{3\pi}{10}< x < \frac{\pi}{2}}[/tex3]

[tex3]\blacksquare[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\blacksquare[/tex3]

[Deleted User 23699]

A expressão está correta? Não seria:

[tex3]\sin 2x - \sin \left( 3x {\color{red}{+}}\frac{\pi}{2}\right) > 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sin 2x - \sin \left( 3x {\color{red}{+}}\frac{\pi}{2}\right) > 0[/tex3]

Olá Planck ,
Prestando atenção agora, vi que a questão no meu livro está do modo como você escreveu.

sen(2x)-sen(3x + 90) > 0
sen(2x) > sen(3x+90)
Com isso vemos que
3x+90 está, no mínimo, no segundo quadrante. Então:
1. 3x+90 no 2 quadrante e 2x no 1 quadrante: 3x+90 > 2x (RESPOSTA ABSURDA)
Teriam os outros casos (variando os quadrantes), mas nenhum iria me dar a resposta correta.
Não vejo como sair disso. Em minha concepção, todo x dentro do domínio [0, 90] iria dar certo essa inequação.

[Tassandro]

A questão original do ITA é a que está na primeira mensagem deste tópico.

[Deleted User 23699]

Pode ser mais um erro na minha fonte rs... (Livro 5 do Rufino)

[tex3]\sin x=\sin(π-x) \\
\sin2x>\sin\left(π-3x-\frac{π}{2}\right)
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sin x=\sin(π-x) \\
\sin2x>\sin\left(π-3x-\frac{π}{2}\right)
[/tex3]

Tassandro
Essa passagem está correta?

Não deveria ser pi - 3x + pi/2

[Tassandro]

Obrigado pela correção, não tinha notado esse detalhe do sinal! Sendo assim, não consegui chegar no gabarito.

[Tassandro]

Mestre petras , pode nos ajudar?