Olá, amigo.
Uma correção primeiro: se [tex3]x_n + n = n^2[/tex3]
, então o correto é: [tex3]x_1 + 1 = 1[/tex3]
e não [tex3]x_1 = 1[/tex3]
.
Note que
[tex3]\sum_{i=1}^n x_i = (1-1) + (4-2) + (9-3) + (16-4) + \dots + (n^2 - n) = (2^2 - 2) + (3^2 - 3) + (4^2 - 4) + \dots + (n^2 - n) \\\\ \therefore \sum_{i=1}^n x_i = 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dots n^2 - (2 + 3 + 4 + 5 + \dots n)= \left( \sum_{k=1}^n x_k^2 - \cancel{1^2} \right) - \left( \sum_{k=1}^n x_k - \cancel{1} \right) = \sum_{k=1}^n x_k^2 - \sum_{k=1}^n x_k[/tex3]
Sabendo que [tex3]\sum_{i=1}^n x_k^2 = \frac{(n+1) \cdot n \cdot (2n+1)}{6}[/tex3]
, demonstração¹ feita pelo próprio Prof. Caju) e que [tex3]\sum_{i=1}^n x_k = \frac{n \cdot (n+1)}{2}[/tex3]
(soma de uma P.A. de razão 1 e n termos), temos:
[tex3]\sum_{i=1}^n x_i = \frac{(n+1) \cdot n \cdot (2n+1)}{6} - \frac{n \cdot (n+1)}{2} = \frac{(n+1) \cdot n \cdot (2n+1) - 3 \cdot n \cdot (n+1)} {6} \\\\ \therefore \sum_{i=1}^n x_i = \frac{n \cdot (n+1) \cdot \left[ (2n+1) - 3 \right]}{6} = \frac{n \cdot (n+1) \cdot 2 \cdot (n-1)}{6} = \frac{n \cdot (n^2-1)}{3}[/tex3]
Boa questão.
Grande abraço,
Pedro.
¹
Demonstração
"Por céus e mares eu andei, vi um poeta e vi um rei, na esperança de saber o que é o amor..."