IME / ITA(Farias Brito - prof MM) Sequências Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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Fev 2017 01 16:33

(Farias Brito - prof MM) Sequências

Mensagem não lida por Gu178 » Qua 01 Fev, 2017 16:33

Dada a sequência de equações [tex3]x_{1}=1,~~x_{2}+2=4,~~x_{3}+3=9,...,x_{n}+n=n^2[/tex3] , calcule o valor de [tex3]x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n}[/tex3] .


Resposta

[tex3]\frac{n(n^2-1)}{3}[/tex3]

Última edição: Gu178 (Qua 01 Fev, 2017 16:33). Total de 1 vez.



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Fev 2017 01 17:23

Re: (Farias Brito - prof MM) Sequências

Mensagem não lida por LucasPinafi » Qua 01 Fev, 2017 17:23

Veja que [tex3]x_4 + 4 = 16[/tex3]
Então,
[tex3]x_1 + x_2 + x_3 + x_4 +\cdots x_n = 1+ (4-2) +(9-3) + (16-4) + \cdots +(n^2 - n) \\ x_1 + x_2 + \cdots + x_n = (1+4+9+\cdots +n^2 ) - (2+3+4\cdots +n)[/tex3]
Agora, veja que a primeira soma é a soma dos n primeiros quadrados;
[tex3]1+ 4 + 9 + \cdots +n^2 = \frac{n(n+1) (2n+1)}{6}[/tex3]
A segunda soma é termos de uma PA simples, de razão 1, primeiro termos igual a 2 e último igual a n:
[tex3]2 + 3 + 4 + \cdots + n = \frac{(n-1) (2+n)}{2}[/tex3]
Agora é só somar, mas não ta batendo com o gabarito..

Última edição: LucasPinafi (Qua 01 Fev, 2017 17:23). Total de 1 vez.


Ser ̶m̶e̶l̶h̶o̶r̶ pior a cada dia

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Fev 2017 01 17:29

Re: (Farias Brito - prof MM) Sequências

Mensagem não lida por PedroCunha » Qua 01 Fev, 2017 17:29

Olá, amigo.

Uma correção primeiro: se [tex3]x_n + n = n^2[/tex3] , então o correto é: [tex3]x_1 + 1 = 1[/tex3] e não [tex3]x_1 = 1[/tex3] .

Note que

[tex3]\sum_{i=1}^n x_i = (1-1) + (4-2) + (9-3) + (16-4) + \dots + (n^2 - n) = (2^2 - 2) + (3^2 - 3) + (4^2 - 4) + \dots + (n^2 - n) \\\\ \therefore \sum_{i=1}^n x_i = 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dots n^2 - (2 + 3 + 4 + 5 + \dots n)= \left( \sum_{k=1}^n x_k^2 - \cancel{1^2} \right) - \left( \sum_{k=1}^n x_k - \cancel{1} \right) = \sum_{k=1}^n x_k^2 - \sum_{k=1}^n x_k[/tex3]

Sabendo que [tex3]\sum_{i=1}^n x_k^2 = \frac{(n+1) \cdot n \cdot (2n+1)}{6}[/tex3] , demonstração¹ feita pelo próprio Prof. Caju) e que [tex3]\sum_{i=1}^n x_k = \frac{n \cdot (n+1)}{2}[/tex3]
(soma de uma P.A. de razão 1 e n termos), temos:

[tex3]\sum_{i=1}^n x_i = \frac{(n+1) \cdot n \cdot (2n+1)}{6} - \frac{n \cdot (n+1)}{2} = \frac{(n+1) \cdot n \cdot (2n+1) - 3 \cdot n \cdot (n+1)} {6} \\\\ \therefore \sum_{i=1}^n x_i = \frac{n \cdot (n+1) \cdot \left[ (2n+1) - 3 \right]}{6} = \frac{n \cdot (n+1) \cdot 2 \cdot (n-1)}{6} = \frac{n \cdot (n^2-1)}{3}[/tex3]

Boa questão.

Grande abraço,
Pedro.

¹Demonstração
Última edição: PedroCunha (Qua 01 Fev, 2017 17:29). Total de 2 vezes.


"Por céus e mares eu andei, vi um poeta e vi um rei, na esperança de saber o que é o amor..."

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Fev 2017 01 17:40

Re: (Farias Brito - prof MM) Sequências

Mensagem não lida por Gu178 » Qua 01 Fev, 2017 17:40

Obrigado aos dois, me ajudou muito.




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