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Dada a sequência de equações [tex3]x_{1}=1,~~x_{2}+2=4,~~x_{3}+3=9,...,x_{n}+n=n^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_{1}=1,~~x_{2}+2=4,~~x_{3}+3=9,...,x_{n}+n=n^2[/tex3]

, calcule o valor de [tex3]x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n}[/tex3]

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[tex3]x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n}[/tex3]

.

Veja que [tex3]x_4 + 4 = 16[/tex3]

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[tex3]x_4 + 4 = 16[/tex3]

Então,
[tex3]x_1 + x_2 + x_3 + x_4 +\cdots x_n = 1+ (4-2) +(9-3) + (16-4) + \cdots +(n^2 - n) \\ x_1 + x_2 + \cdots + x_n = (1+4+9+\cdots +n^2 ) - (2+3+4\cdots +n)[/tex3]

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[tex3]x_1 + x_2 + x_3 + x_4 +\cdots x_n = 1+ (4-2) +(9-3) + (16-4) + \cdots +(n^2 - n) \\ x_1 + x_2 + \cdots + x_n = (1+4+9+\cdots +n^2 ) - (2+3+4\cdots +n)[/tex3]

Agora, veja que a primeira soma é a soma dos n primeiros quadrados;
[tex3]1+ 4 + 9 + \cdots +n^2 = \frac{n(n+1) (2n+1)}{6}[/tex3]

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[tex3]1+ 4 + 9 + \cdots +n^2 = \frac{n(n+1) (2n+1)}{6}[/tex3]

A segunda soma é termos de uma PA simples, de razão 1, primeiro termos igual a 2 e último igual a n:
[tex3]2 + 3 + 4 + \cdots + n = \frac{(n-1) (2+n)}{2}[/tex3]

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[tex3]2 + 3 + 4 + \cdots + n = \frac{(n-1) (2+n)}{2}[/tex3]

Agora é só somar, mas não ta batendo com o gabarito..

Olá, amigo.

Uma correção primeiro: se [tex3]x_n + n = n^2[/tex3]

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[tex3]x_n + n = n^2[/tex3]

, então o correto é: [tex3]x_1 + 1 = 1[/tex3]

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[tex3]x_1 + 1 = 1[/tex3]

e não [tex3]x_1 = 1[/tex3]

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[tex3]x_1 = 1[/tex3]

.

Note que

[tex3]\sum_{i=1}^n x_i = (1-1) + (4-2) + (9-3) + (16-4) + \dots + (n^2 - n) = (2^2 - 2) + (3^2 - 3) + (4^2 - 4) + \dots + (n^2 - n) \\\\ \therefore \sum_{i=1}^n x_i = 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dots n^2 - (2 + 3 + 4 + 5 + \dots n)= \left( \sum_{k=1}^n x_k^2 - \cancel{1^2} \right) - \left( \sum_{k=1}^n x_k - \cancel{1} \right) = \sum_{k=1}^n x_k^2 - \sum_{k=1}^n x_k[/tex3]

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[tex3]\sum_{i=1}^n x_i = (1-1) + (4-2) + (9-3) + (16-4) + \dots + (n^2 - n) = (2^2 - 2) + (3^2 - 3) + (4^2 - 4) + \dots + (n^2 - n) \\\\ \therefore \sum_{i=1}^n x_i = 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dots n^2 - (2 + 3 + 4 + 5 + \dots n)= \left( \sum_{k=1}^n x_k^2 - \cancel{1^2} \right) - \left( \sum_{k=1}^n x_k - \cancel{1} \right) = \sum_{k=1}^n x_k^2 - \sum_{k=1}^n x_k[/tex3]

Sabendo que [tex3]\sum_{i=1}^n x_k^2 = \frac{(n+1) \cdot n \cdot (2n+1)}{6}[/tex3]

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[tex3]\sum_{i=1}^n x_k^2 = \frac{(n+1) \cdot n \cdot (2n+1)}{6}[/tex3]

, demonstração¹ feita pelo próprio Prof. Caju) e que [tex3]\sum_{i=1}^n x_k = \frac{n \cdot (n+1)}{2}[/tex3]

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[tex3]\sum_{i=1}^n x_k = \frac{n \cdot (n+1)}{2}[/tex3]

(soma de uma P.A. de razão 1 e n termos), temos:

[tex3]\sum_{i=1}^n x_i = \frac{(n+1) \cdot n \cdot (2n+1)}{6} - \frac{n \cdot (n+1)}{2} = \frac{(n+1) \cdot n \cdot (2n+1) - 3 \cdot n \cdot (n+1)} {6} \\\\ \therefore \sum_{i=1}^n x_i = \frac{n \cdot (n+1) \cdot \left[ (2n+1) - 3 \right]}{6} = \frac{n \cdot (n+1) \cdot 2 \cdot (n-1)}{6} = \frac{n \cdot (n^2-1)}{3}[/tex3]

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[tex3]\sum_{i=1}^n x_i = \frac{(n+1) \cdot n \cdot (2n+1)}{6} - \frac{n \cdot (n+1)}{2} = \frac{(n+1) \cdot n \cdot (2n+1) - 3 \cdot n \cdot (n+1)} {6} \\\\ \therefore \sum_{i=1}^n x_i = \frac{n \cdot (n+1) \cdot \left[ (2n+1) - 3 \right]}{6} = \frac{n \cdot (n+1) \cdot 2 \cdot (n-1)}{6} = \frac{n \cdot (n^2-1)}{3}[/tex3]

Boa questão.

Grande abraço,
Pedro.

¹Demonstração

Obrigado aos dois, me ajudou muito.