IME / ITA ⇒ (Farias Brito - prof MM) Função Modular Tópico resolvido

[Gu178]

O valor mínimo da função real e de variável real dada por f(x)=|x+3|+|x-2|+|x-4| é:

Resposta

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7

[LucasPinafi]

[tex3]f(x) = | x+3 | + | x - 2| + | x - 4 |[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x) = | x+3 | + | x - 2| + | x - 4 |[/tex3]

Se [tex3]x < - 3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x < - 3[/tex3]

, então [tex3]f(x) = -x - 3 - x + 2 - x + 4 = 3 - 3x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x) = -x - 3 - x + 2 - x + 4 = 3 - 3x[/tex3]

Se [tex3]-3 \leq x < 2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-3 \leq x < 2[/tex3]

, então [tex3]f(x) = x +3 -x + 2 - x + 4 = 9 - x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x) = x +3 -x + 2 - x + 4 = 9 - x[/tex3]

Se [tex3]2 \leq x < 4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2 \leq x < 4[/tex3]

, então [tex3]f(x) = x + 3 + x -2 -x +4= x +5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x) = x + 3 + x -2 -x +4= x +5[/tex3]

Se [tex3]x \geq 4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x \geq 4[/tex3]

, então [tex3]f(x) = 3x -3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x) = 3x -3[/tex3]

Então, [tex3]f(x) = \begin{cases} 3 -3x, \ \text{se } x < -3 \\ 9-x, \text{ se } -3 \leq x < 2 \\ x+5 , \text{ se } 2\leq x < 4 \\ 3-3x , \text{ se } x \geq 4 \end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x) = \begin{cases} 3 -3x, \ \text{se } x < -3 \\ 9-x, \text{ se } -3 \leq x < 2 \\ x+5 , \text{ se } 2\leq x < 4 \\ 3-3x , \text{ se } x \geq 4 \end{cases}[/tex3]

Bom, talvez a melhor maneira seria traçar o gráfico, que é bem fácil para um conjunto de retas. Mas, isso significa perca de tempo.
Então, vamos por outro método. Veja que f é uma função contínua. com f tendendo ao infinito quando x tende a mais ou menos infinito. Assim, basta analisar nos extremos. Para 3 - 3x em x = -3, temos f(x) = 12; Para 9 - x em x = 2, temos f(x) = 7, para x =4 em 3x - 3 encontramos 9. Logo, o valor mínimo é 7.

[Gu178]

Obrigado amigo.