IME / ITA ⇒ (IME -1987) Geometria Plana Tópico resolvido

[The8HK]

Dado um círculo de raio [tex3]R[/tex3]

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[tex3]R[/tex3]

e centro [tex3]O[/tex3]

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[tex3]O[/tex3]

, constrói-se três círculos iguais de raio [tex3]r[/tex3]

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[tex3]r[/tex3]

, tangentes dois a dois, nos pontos [tex3]E[/tex3]

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[tex3]E[/tex3]

, [tex3]F[/tex3]

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[tex3]F[/tex3]

e [tex3]G[/tex3]

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[tex3]G[/tex3]

, e tangentes interiores ao círculo dado. Determine, em função de [tex3]R[/tex3]

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[tex3]R[/tex3]

, o raio destes círculos e a área da superfície [tex3]EFG[/tex3]

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[tex3]EFG[/tex3]

, compreendida entre os três círculos e limitada pelos arcos [tex3]EG[/tex3]

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[tex3]EG[/tex3]

, [tex3]GF[/tex3]

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[tex3]GF[/tex3]

e [tex3]FE[/tex3]

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[tex3]FE[/tex3]

.

Ps: eu encontrei essa questão aqui no Fórum, mas a segunda parte (determinar a área) estava errada, pois os pontos E, F e G foram colocados como centros das circunferências, e não como pontos de tangência; além disso, o gabarito no Volume 2 da coleção Elementos da Matemática, do Marcelo Rufino (além de outros gabaritos que eu procurei), dizem que a resposta é diferente.

Resposta

---

[tex3](7-4\sqrt{3})(2\sqrt{3}-\Pi) R^{2}[/tex3]

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[tex3](7-4\sqrt{3})(2\sqrt{3}-\Pi) R^{2}[/tex3]

[petras]

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[tex3]S = S_{EFG}-3S_s[/tex3]

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[tex3]S = S_{EFG}-3S_s[/tex3]

[tex3]S = S_{EFG}[/tex3]

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[tex3]S = S_{EFG}[/tex3]

(Triângulo Equilátero com l = 2r) = [tex3]l^{2}\frac{\sqrt{3}}{4} = 2r^{2}\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex3]

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[tex3]l^{2}\frac{\sqrt{3}}{4} = 2r^{2}\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex3]

[tex3]S_{s}[/tex3]

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[tex3]S_{s}[/tex3]

= Área do Setor de [tex3]60^{o}[/tex3]

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[tex3]60^{o}[/tex3]

do círculo (raio = r) portanto [tex3]3 S_s = \frac{1}{2}área~ deste~círculo = \frac{\pi r^{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]3 S_s = \frac{1}{2}área~ deste~círculo = \frac{\pi r^{2}}{2}[/tex3]

R = [tex3]r+\frac{2}{3}.\frac{2r\sqrt{3}}{2}[/tex3]

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[tex3]r+\frac{2}{3}.\frac{2r\sqrt{3}}{2}[/tex3]

[tex3]\rightarrow[/tex3]

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[tex3]\rightarrow[/tex3]

r = [tex3]\frac{3R}{2\sqrt{3}+3b}[/tex3]

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[tex3]\frac{3R}{2\sqrt{3}+3b}[/tex3]

= [tex3]2(\sqrt{3}-3)R[/tex3]

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[tex3]2(\sqrt{3}-3)R[/tex3]

S = [tex3]\frac{(2r)^{2}\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi r^{2}}{2} = \frac{4r^{2}\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi r^{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{(2r)^{2}\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi r^{2}}{2} = \frac{4r^{2}\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi r^{2}}{2}[/tex3]

=[tex3]\frac{2r^{2}\sqrt{3}-\pi r^{2}}{2} = \frac{r^{2}(2\sqrt{3}-\pi)}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{2r^{2}\sqrt{3}-\pi r^{2}}{2} = \frac{r^{2}(2\sqrt{3}-\pi)}{2}[/tex3]

= (substituindo r )[tex3]\rightarrow[/tex3]

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[tex3]\rightarrow[/tex3]

S = [tex3]\frac{(2\sqrt{3}-\pi )(2\sqrt{3}-3)^{2}}{2}.R^{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{(2\sqrt{3}-\pi )(2\sqrt{3}-3)^{2}}{2}.R^{2}[/tex3]