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Mensagem não lidapor **petras** » Seg 26 Dez, 2016 17:57 · Mensagem não lida por **petras** » Seg 26 Dez, 2016 17:57

Determine todos os valores de [tex3]a[/tex3] para os quais a equação [tex3]\sqrt{ax^2 + ax + 2} = ax + 2[/tex3] possui uma única raiz real.

Resposta

[tex3]a=-8[/tex3] ou [tex3]a\ge 1[/tex3]

Determine todos os valores de a para os quais a equação [tex3]\sqrt{ax^2 + ax + 2} = ax + 2[/tex3] possui uma única raiz real.
______
Desenvolvendo [tex3]\sqrt{ax^2 + ax + 2} = ax + 2[/tex3] , nós temos:

[tex3]\sqrt{ax^2 + ax + 2} = ax + 2 \;\; \rightarrow \;\; (\sqrt{ax^2 + ax + 2})^2 = (ax + 2)^2\;\; \rightarrow \;\; \\\\ \;\; \rightarrow \;\; ax^2 + ax + 2 = a^2x^2 + 4ax + 4 \;\; \rightarrow \; \; ax^2 - a^2x^2 + ax - 4ax + 2 - 4 = 0 \;\; \rightarrow \\\\ \; \rightarrow \;\; (a-a^2)x^2 - 3ax -2 = 0[/tex3]

Para a equação de 2º grau ter apenas uma única raiz real, seu delta deve ser igual a zero, ou seja, [tex3]\Delta = 0[/tex3] .
Portanto, temos que:
[tex3]b^2 - 4ac = 0 \;\; \rightarrow \;\; (-3a)^2 - 4 (a-a^2).(-2) = 0 \;\; \rightarrow \;\; 9a^2 + 8(a-a^2) = 0 \;\; \rightarrow \\\\ \rightarrow \;\; 9a^2 + 8a - 8a^2 = 0 \;\; \rightarrow \;\; a^2 + 8a = 0 \;\; \rightarrow \;\; a(a+8) = 0 \;\;\rightarrow \\\\\rightarrow \;\; a = 0 \;\; , \;\; a = -8[/tex3]

Se a = 0, substituindo na equação, teríamos:
[tex3](a-a^2)x^2 - 3ax -2 = 0 \;\; \rightarrow \;\; (0-0)x^2-3.0.x-2 = 0 \;\;\rightarrow \;\; -2 \neq 0[/tex3]

Portanto, temos que [tex3]a = -8[/tex3] .

A equação também terá uma única raiz real quando for uma equação do 1º grau, ou seja, quando a constante de x² for igual a 0.
[tex3](a-a^2)x^2 - 3ax -2 = 0 \;\; \rightarrow \;\; (a-a^2) = 0 \;\; \rightarrow \;\; a(1-a) = 0 \;\; \rightarrow \;\; \\ \rightarrow \;\; a = 0 \;\; , \;\; a = 1[/tex3]

Como já vimos que [tex3]a \neq 0[/tex3] , então temos que [tex3]a = 1[/tex3] .

Logo, temos que os valores de a para os quais a equação possui uma única raiz real são: [tex3]a = -8 \;\; \text{ou} \;\; a = 1[/tex3] .

Mensagem não lidapor **petras** » Sex 06 Jan, 2017 14:33 · Mensagem não lida por **petras** » Sex 06 Jan, 2017 14:33

Grato Rafa mas a resposta é a >= 1, então seria necessário fazer essa demonstração.

petras escreveu: Grato Rafa mas a resposta é a >= 1, então seria necessário fazer essa demonstração.

Petras, essa resposta está errada, visto que a solução desejada é apenas uma única raiz real.
Teste valores maiores que um para a, que tu verás que acontecerá duas coisas: ou terá um par de raízes imaginárias, ou terá 2 raízes reais.
É mais prático tu testares, por exemplo, no Wolfram para diferentes valores de a, que tu conseguirás ver isso.

Abraços.

Mensagem não lidapor **petras** » Sex 06 Jan, 2017 21:20 · Mensagem não lida por **petras** » Sex 06 Jan, 2017 21:20

Rafa, creio que você equivocou-se. Se jogar no Wolfran verá que para qualquer valor de a [tex3]\geq[/tex3] 1 teremos apenas uma raiz real.

Segue a solução que consegui de Gilberto97 para seu conhecimento e de todos que acompanham o fórum. A primeira condição de a = -8 é a que todos encontram.

Como é uma questão ITA, é para se esperar algo mais do que uma resposta direta.

Vamos a resolução:

[tex3]\sqrt{ax^{2}+ax+2}[/tex3] = ax+2 (I)
De (I) temos que
ax + 2 [tex3]\geq[/tex3] 0 [tex3]\rightarrow x \geq -\frac{2}{a}[/tex3] (a)

[tex3]ax^{2}+ax+2[/tex3] = 0 (b)

Analisando (b)

[tex3]\Delta = a^{2}-8a[/tex3]

Raízes: Raízes = x [tex3]\leq[/tex3] [tex3]\frac{-a \pm \sqrt{a^{2}-8a}}{2a}[/tex3]

1) Para a > 0
Raízes = x [tex3]\leq[/tex3] [tex3]\frac{-a - \sqrt{a^{2}-8a}}{2a}[/tex3] ou x [tex3]\geq \frac{-a + \sqrt{a^{2}-8a}}{2a}[/tex3]

Fazendo a interseção com (a) teremos x [tex3]\geq - \frac{2}{a}[/tex3]

2) Para a < 0

Raízes = [tex3]\frac{-a - \sqrt{a^{2}-8a}}{2a}[/tex3] [tex3]\leq[/tex3] x [tex3]\leq \frac{-a + \sqrt{a^{2}-8a}}{2a}[/tex3]

Como a < 0 temos de (a) que x [tex3]\leq - \frac{2}{a}[/tex3]

A interseção nos diz que o primeiro intervalo é o que deve ser considerado.

Voltando a equação teremos:
a(a-1)[tex3]x^{2}[/tex3] + 3ax + 2 = 0 [tex3]\rightarrow[/tex3] Sendo a = 1 teremos uma equação do [tex3]1^{o}[/tex3] grau e portanto teremos uma raiz.

Caso "a" não seja 1 é necessário avaliar o [tex3]\Delta[/tex3] .

Se [tex3]\Delta[/tex3] = 0 teremos a = -8, ou seja a < 0.

Como a = -8 , o intervalo a ser considerado é:

[tex3]-\frac{(\sqrt{2}+1)}{2}[/tex3] [tex3]\leq[/tex3] x [tex3]\leq[/tex3] [tex3]\frac{\sqrt{2}-1}{2}[/tex3]

Substituindo "a" na equação mais acima veremos que x estará dentro deste intervalo e portanto a= -8 atende.

Analisando ainda mais para a > 0 teremos:

a(a-1)[tex3]x^{2}[/tex3] + 3ax + 2 = 0
[tex3]\Delta = a^{2}[/tex3] +8a

Raízes: x = [tex3]\frac{-3a \pm \sqrt{a^{2}+8a}}{2a(a-1)}[/tex3]

Como a > 0 teremos x = [tex3]\frac{-3a \pm \sqrt{a^{2}+8a}}{2a(a-1)}[/tex3] [tex3]\geq - \frac{2}{a}[/tex3]

[tex3]\frac{a-4\pm\sqrt{a^{2}+8a}}{2a(a-1)}\geq[/tex3] 0

Denominador a > 1
Numerador a - 4 \pm [tex3]\sqrt{a^{2}+8a}\geq[/tex3] 0

Escolhendo a diferença teremos:
a - 4 - [tex3]\sqrt{a^{2}+8a}[/tex3] [tex3]\geq[/tex3] 0 [tex3]\rightarrow[/tex3] a - 4 [tex3]\geq[/tex3] [tex3]\sqrt{a^{2}+8a}[/tex3] (Absurdo)

Escolhendo a soma teremos:

a - 4 + [tex3]\sqrt{a^{2}+8a}[/tex3] [tex3]\geq[/tex3] 0 [tex3]\rightarrow[/tex3] a - 4 [tex3]\geq - \sqrt{a^{2}+8a}[/tex3]

4 - a [tex3]\leq[/tex3] [tex3]\sqrt{a^{2}+8a}[/tex3]

a [tex3]\geq[/tex3] 1

Para a < 0: Serve apenas a = -8
Para a > 0 Chegamos a conclusão que todo a [tex3]\geq[/tex3] 1 serve

Ah, sim, entendi. Desculpa pelo meu erro.
Coloquei no Wolfram aqui e realmente foi um equívoco meu, devo ter digitado algo errado.

Achei essa solução um pouco confusa/avançada. Seria mais prático se fosse simples como eu fiz, mas é ITA, tu tens razão nisso.

Abraços.

Mensagem não lidapor **petras** » Sex 06 Jan, 2017 22:36 · Mensagem não lida por **petras** » Sex 06 Jan, 2017 22:36

Realmente não é um problema de resolução simples. Na verdade é complexo pois envolve a análise de todas as variáveis.

O senso comum segue o raciocínio do [tex3]\Delta[/tex3] = 0 para termos um raiz real mas existe a alternativa do [tex3]\Delta[/tex3] > 0 onde devemos ter apenas uma das raízes x que satisfaça as restrições (ax ≥ -2.) e não bastasse isso fazer a análise para ax ≥ -2, ser verdadeiro:
Se a = 0 não convém ou:
a) a > 0, com x ≥ -2/a; ou
b) a < 0, com x ≤ -2/a.

Mensagem não lidapor **Loreto** » Sex 06 Jan, 2017 22:51 · Mensagem não lida por **Loreto** » Sex 06 Jan, 2017 22:51

Observemos que ao pegarmos qualquer valor de [tex3]a[/tex3] [tex3]\geq[/tex3] [tex3]1[/tex3] , obtemos duas raízes reais na equação [tex3](a-a^2)x^2 - 3ax -2 = 0[/tex3]

Mensagem não lidapor **petras** » Sex 06 Jan, 2017 23:24 · Mensagem não lida por **petras** » Sex 06 Jan, 2017 23:24

Loreto você destacou uma parte do problema onde foi analisado a condição do [tex3]\Delta[/tex3] > 0, onde deveremos ter pelo uma das duas raízes não atendendo as condições de restrição do problema.

Para verificação da solução a [tex3]\geq 1[/tex3] você deve substituir na equação principal: [tex3]\sqrt{ax^{2}+ax+2}[/tex3] = ax + 2 e não nesta segmentação que foi feita para análise da solução.

Ex: x = 2 teremos uma única raiz = [tex3]\frac{\sqrt{5} - 3}{2}[/tex3]

x = 4 teremos uma única raiz = [tex3]\frac{1}{2\sqrt{3}}\ - \frac{1}{2}[/tex3] ....e assim por diante

Mensagem não lidapor **Loreto** » Sáb 07 Jan, 2017 03:45

Petras, obrigado pela explicação, bem mais trabalhoso esse exercício.

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