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Olá pessoal! Gostaria que alguém me ajudasse nessa questão. Tentei várias fatorações e transformações mas não consegui eliminar [tex3]\theta[/tex3] . OBS.: Aqui no fórum vi uma questão parecida, mas cuja resolução não se aplica a esse problema.

Seja [tex3]a[/tex3] uma constante real. Eliminando [tex3]\theta[/tex3] das equações abaixo:

[tex3]x . sen \theta + y . cos \theta = 2a . sen 2\theta[/tex3]
[tex3]x . cos \theta - y . sen \theta = a . cos 2\theta[/tex3]

obtemos:

a) [tex3]{(x+y)}^{\frac{2}{3}} + {(x-y)}^{\frac{2}{3}} = {2a}^{\frac{2}{3}}[/tex3]
b) [tex3]{(x-y)}^{\frac{2}{3}} - {(x-y)}^{\frac{2}{3}} = {2a}^{\frac{2}{3}}[/tex3]
c) [tex3]{(x+y)}^{\frac{2}{3}} + {(y-x)}^{\frac{2}{3}}={a}^{\frac{2}{3}}[/tex3]
d) [tex3]{(x+y)}^{\frac{2}{3}} + {(x-y)}^{\frac{2}{3}} = \frac{a^{\frac {2}{3}}}{2}[/tex3]
e) nda.

Vamos resolver o sistema pela regra de Cramer. Lembrando que $x= \frac{D_x} {D} \ \ \ y = \frac{D_y}{D}$
onde:

$D= \begin{vmatrix} \sin \theta & \cos \theta \\ \cos \theta & - \sin \theta \end{vmatrix} = - \sin^2 \theta - \cos^2 \theta = - 1 \\ \\ D_x = \begin{vmatrix} 2a \sin 2\theta & \cos \theta \\ a \cos 2 \theta & - \sin \theta \end{vmatrix} = -4 a \sin^2 \theta \cos \theta - a\cos \theta ( 2 \cos^2 \theta - 1) \\ D_x = -a[4 ( 1 - \cos^2 \theta ) \cos \theta +2 \cos^3 \theta - \cos \theta ] = -a[ 3 \cos \theta - 2 \cos^3 \theta ] \\ \\ D_y =\begin{vmatrix} \sin \theta & 2a \sin 2\theta \\ \cos \theta & a \cos 2 \theta \end{vmatrix} = a \sin \theta \cos 2 \theta - 2 a \cos \theta \sin 2 \theta \\ D_y = a [\sin \theta ( 1 - 2 \sin^2 \theta ) - 4 a \cos^2 \theta \sin \theta ] \\ D_y = a[ \sin \theta - 2 \sin^3 \theta -4 \sin \theta +4 \sin^3 \theta ] = a [ 2 \sin^3 \theta -3 \sin \theta ]$
Disso tudo, segue que $x =a[ 3 \cos \theta - 2 \cos^3 \theta ] \ \ y = a[2\sin^3 \theta - 3 \sin \theta ]$

Veja que:

$x + y = a[ 2 (\sin^3 \theta - \cos^3 \theta ) + 3( \cos \theta - \sin \theta ) ]$

Seja

$I_1 = 2 (\sin^3 \theta - \cos^3 \theta) + 3 ( \cos \theta - \sin \theta ) \\ I_1 = 2 (\sin \theta - \cos \theta ) (\sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta ) + 3 (\cos \theta - \sin \theta )\\ I_1 = ( \sin \theta - \cos \theta) [ 2 \sin \theta \cos \theta - 1]$

De modo que,

$(x+y)^2 = a^2 ( \sin \theta - \cos \theta )^2 [2 \sin \theta \cos \theta - 1]^2 \\ (x+y)^2 = a^2 ( 1 - 2 \cos \theta \sin \theta ) ( 2 \sin \theta \cos \theta -1)^2 \\ (x+y)^2 = a^2 (1- \sin 2\theta)^3 \therefore (x+y)^{2/3} = a^{2/3} (1 - \sin 2\theta)$

Da mesma maneira,

$y - x = a [ 2 ( \sin^3 \theta + \cos^3 \theta ) - 3 ( \sin \theta + \cos \theta ) ] \\ y-x = a[2(\sin \theta + \cos \theta ) (\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta ) - 3 ( \sin \theta + \cos \theta ) ]\\ y - x = a(\sin \theta + \cos \theta ) [ 2 - \sin 2 \theta -3 ] \\ y-x = -a( \sin \theta + \cos \theta ) (1 + \sin 2\theta ) \therefore \\ (y-x)^2 = a^2 ( 1 + \sin 2\theta ) (1+\sin 2\theta )^2 \\ (y-x)^2 = a^2 ( 1+\sin 2\theta)^3 \\ (y-x)^{2/3} = a^{2/3} ( 1 + \sin 2 \theta )$

Logo,

$(x+y)^{2/3} + (x-y)^{2/3} =2 a^{2/3}$

Resposta: A

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