IME / ITA ⇒ (ITA - 1999) Geometria Espacial Tópico resolvido

[pietrotavares]

É possível fazer por geometria analítica, mas tive muita dificuldade até para entender a resolução que achei..
Teria um outro jeito mais simples?

Um triedro tri-retângulo é cortado por um plano que intercepta as três arestas, formando um triângulo com lados medindo [tex2]8[/tex2], [tex2]10[/tex2] e [tex2]12[/tex2]. O volume do sólido formado é:

Resposta

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[tex3]15\sqrt{6}[/tex3]

[undefinied3]

Acho que misturar analítica com espacial já foge um pouco do nível ITA, até mesmo do IME apesar de eu já ter visto eles cobrarem essa geometria analítica vetorial. Tem um jeito mais fácil sim:

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A primeira figura é o triedro tri-retângulo, e a segunda é o plano que faz aparecer o triângulo. Por pitágoras, temos o sistema:

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[tex3]\begin{cases}
a^2+b^2=64 \\
a^2+c^2=144 \\
b^2+c^2=100
\end{cases}[/tex3]

Que dá pra resolver rapidamente fazendo umas adições e subtrações. A solução é

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[tex3]a=3\sqrt{6}[/tex3]

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[tex3]b=\sqrt{10}[/tex3]

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[tex3]c=3\sqrt{10}[/tex3]

O sólido formado é uma pirâmide de vértice na origem do plano. Seu volume é

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[tex3]\frac{A_b.h}{3}[/tex3]

É bobeira usar o triângulo do enunciado como base porque a altura é chata de calcular, então vamos usar um triângulo formado por uma das arestas. A base seria por exemplo

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[tex3]\frac{ab}{2}[/tex3]

e a altura seria c pois já está formando 90 graus com o plano ab. Logo:

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[tex3]V=\frac{abc}{6}=\frac{9\sqrt{600}}{6}=15\sqrt{6}[/tex3]

[pietrotavares]

Nossa, eu não esperava algo tão simples.
Parabéns pela resolução!

Abraço.