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Mensagem não lidapor **petras** » Ter 22 Nov, 2016 21:52 · Mensagem não lida por **petras** » Ter 22 Nov, 2016 21:52

Estou com dificuldades no exercíco abaixo. Alguém poderia ajudar?
Considere as matrizes reais

M=
a 0 0
0 b 1
0 0 c

L =
1 0 0
0 1 0
0 0 1

em que a [tex3]\neq[/tex3] 0 e a, b e c formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão q > 0 .Sejam x1, x2, e x3 as raízes da equação
det |M - xL |= 0. Sabendo que x1.x2.x3 = a e x1 + x2 + x3 = 7a, então [tex3]a^{2} + b^{2} + c^{2}[/tex3] é igual a:

a) 21/8
b) 91/9
c) 36/9
d) 21/16
e) 91/36

Resposta

(R: 21/8)

Mensagem não lidapor **petras** » Qua 23 Nov, 2016 13:11 · Mensagem não lida por **petras** » Qua 23 Nov, 2016 13:11

Segue resolução.

Resolvendo o determinante teremos | M - xL | = 0 teremos:

a-x......0.........0
0.........b-x......1
0.........0.........c-x

(a-x) (b-x) (c-x) = 0
x = a ou x = b ou x = c

PG [tex3]\rightarrow[/tex3] b = aq e c = a [tex3]q^{2}[/tex3]

Do enunciado

x1.x2.x3 = a [tex3]\rightarrow[/tex3] Substituindo: a . aq . a [tex3]q^{2}[/tex3] = a [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]a^{2}[/tex3] . [tex3]q^{3}[/tex3] = 1 (I)
x1+x2+x3 = 7a [tex3]\rightarrow[/tex3] Substituindo a + aq + a [tex3]q^{2}[/tex3] = 7a [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]q^{2}[/tex3] + q - 6 = 0 (II)

Resolvendo (II) teremos q = -3 ( Não convém pois q > 0) e q = 2 (OK)
Substituindo em (I) [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]a^{2}[/tex3] = 1/8

Portanto [tex3]a^{2} + b^{2} + c^{2} = a^{2} + (aq)^{2} + aq^{2^{2}} = a^{2}[/tex3] (1 + [tex3]q^{2} + q^{4}[/tex3] ) = [tex3]\frac{1}{8}[/tex3] (1 + 4 + 16) = [tex3]\frac{21}{8}[/tex3]

IME / ITA ⇒ (ITA) Progressão Geométrica - Determinante Tópico resolvido

(ITA) Progressão Geométrica - Determinante

Re: (ITA) Progressão Geométrica - Determinante

IME / ITA ⇒ (ITA) Progressão Geométrica - Determinante Tópico resolvido

(ITA) Progressão Geométrica - Determinante

Re: (ITA) Progressão Geométrica - Determinante

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