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Determine o termo constante do resto da divisão do polinômio $(1+x+x^{2})^{40}$ por $(1+x)^{3}$

Tem como fazer essa questão sem usar derivada? Todas as resoluções que eu vi usavam.

Mensagem não lidapor **jedi** » Dom 02 Out, 2016 19:07 · Mensagem não lida por **jedi** » Dom 02 Out, 2016 19:07

$(1+x+x^2)^{40}=[1+x(1+x)]^{40}$

expandindo o binomio de Newton

$[1+x(1+1)]^{40}=\begin{pmatrix}40\\0\end{pmatrix}.1^{40}+\begin{pmatrix}40\\1\end{pmatrix}.1^{39}.x(x+1)+\begin{pmatrix}40\\2\end{pmatrix}.1^{38}.x^2(x+1)^2+\begin{pmatrix}40\\3\end{pmatrix}.1^{37}.x^3(x+1)^3+\dots+\begin{pmatrix}40\\38\end{pmatrix}.1^{2}.x^{38}(x+1)^{38}+\begin{pmatrix}40\\39\end{pmatrix}.1^{1}.x^{39}(x+1)^{39}+\begin{pmatrix}40\\40\end{pmatrix}.1^{0}.x^{40}(x+1)^{40}$

quando divido por (1+x)^3 consigo simplificar todos os termos menos os três primeiros

$\frac{[1+x(1+x)]^{40}}{(1+x)^3}=\frac{1+40.x(x+1)+780.x^2(x+1)^2}{(1+x)^3}+19.13.40.x^3\cancel{(x+1)^3}+\dots+780.x^{38}(x+1)^{\cancel{38}^{35}}+40.x^{39}(x+1)^{\cancel{39}^{36}}+x^{40}(x+1)^{\cancel{40}^{37}}$

portanto o resto da divisão será igual ao resto da seguinte divisão

$\frac{1+40.x(x+1)+780.x^2(x+1)^2}{(1+x)^3}$

simplificando mais um pouco

$\frac{1+40.x(x+1)+780(x+1)^2-780(x+1)^2+780.x^2(x+1)^2}{(1+x)^3}$

$\frac{1+40.x(x+1)+780(x+1)^2+780.(x^2-1)(x+1)^2}{(1+x)^3}$

$\frac{1+40.x(x+1)+780(x+1)^2+780.(x-1)(x+1)(x+1)^2}{(1+x)^3}$

$\frac{1+40.x(x+1)+780(x+1)^2}{(1+x)^3}+780(x-1)$

portanto o resto da divisão original será igual ao resto da divisão

$\frac{1+40.x(x+1)+780(x+1)^2}{(1+x)^3}$

como maior expoente de x no numero é 2 não podemos simplificar mais que isso, só temos que encontrar o termo independente

$\frac{1+40.x^2+40x+780x^2+1560x+780}{(1+x)^3}$

$\frac{820x^2+1600x+781}{(1+x)^3}$

o termo independente portanto é 781

Obrigado!

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