IME / ITA

Qual é a solução dessa equação?

$x=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+......}}}}}}-\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6......}}}}}}$

Perdoem-me por não ter gabarito

Mensagem não lidapor **Marcos** » Dom 11 Set, 2016 22:06 · Mensagem não lida por **Marcos** » Dom 11 Set, 2016 22:06

Olá NãoCriativo.Observe a solução:

$x=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+......}}}}}}-\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6......}}}}}}$

$\rightsquigarrow \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+......}}}}}}=A$
$\rightsquigarrow \sqrt{2+\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+......}}}}}}}}}=A$
$\rightsquigarrow \sqrt{2+A}}=A$
$\rightsquigarrow 2+A=A^{2}$
$\rightsquigarrow A^{2}-A-2=0\begin{cases} \cancel{A=-1} \\ \boxed{A=2} \end{cases}$

$\rightsquigarrow \sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6......}}}}}}=B$
$\rightsquigarrow \sqrt{6\underbrace{\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6......}}}}}}}}}=B$
$\rightsquigarrow \sqrt{6B}=B$
$\rightsquigarrow 6B=B^{2}$
$\rightsquigarrow B^{2}-6B=0\begin{cases} \cancel{B=0} \\ \boxed{B=6} \end{cases}$

Substituindo no enunciado, teremos:

$\blacktriangleright x=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+......}}}}}}-\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6......}}}}}}$
$x=A-B$
$x=2-6\rightarrow \boxed{\boxed{x=-4}}$ .

Resposta: $-4$ .

Meu Deus do céu.

Por que B não pode ser igual a 0?

Mensagem não lidapor **Marcos** » Dom 11 Set, 2016 22:39 · Mensagem não lida por **Marcos** » Dom 11 Set, 2016 22:39

NãoCriativo escreveu:Meu Deus do céu.

Por que B não pode ser igual a 0?

$\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6......}}}}}}$

Observe que a expressão acima é claramente maior que $0$ , logo podemos rejeitar $B=0$ com isso $B=6$ .
Espero ter esclarecido a dúvida.

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