IME / ITA(ITA - 1990) Números Complexos Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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Thadeu
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(ITA - 1990) Números Complexos

Mensagem não lida por Thadeu »

Considere as equações [tex3]z^3=i[/tex3] e [tex3]z^2+(2+i)z+2i=0[/tex3] , onde [tex3]z[/tex3] é complexo. Seja [tex3]S_1[/tex3] o conjunto das raízes da primeira equação e [tex3]S_2[/tex3] o da segunda. Então:

a) [tex3]S_1\cup S_2[/tex3] é vazio
b) [tex3]S_1\cap S_2\subset \mathbb{R}[/tex3]
c) [tex3]S_1[/tex3] possui apenas dois elementos distintos
d) [tex3]S_1\cap S_2[/tex3] é unitário
e) [tex3]S_1\cap S_2[/tex3] possui dois elementos

Última edição: Thadeu (Qua 24 Ago, 2016 17:50). Total de 2 vezes.



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undefinied3
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Re: (ITA - 1990) Números Complexos

Mensagem não lida por undefinied3 »

Na primeira equação:

z^3=cis(90)

Da segunda fórmula de moivre:

z_1=cis(\frac{90}{3})=cis(30)=\frac{\sqrt{3}+i}{2}
z_2=cis(\frac{90+360}{3})=cis(150)=\frac{-\sqrt{3}+i}{2}
z_3=cis(\frac{90+720}{3})=cis(270)=-i

Na segunda:

z^2+(2+i)z+2i=0

Então o produto das raízes é 2i e a soma -2-i. É fácil ver que

z_1=-2
z_2=-i

Então a intersecção dos conjuntos resulta em -i
Letra D

Última edição: undefinied3 (Qua 24 Ago, 2016 19:17). Total de 2 vezes.


Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

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