Questão antiga! Para essa questão, precisaremos de um anexo [tex3]\Rightarrow[/tex3]
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Se a pirâmide tem [tex3]\mathsf{n}[/tex3]
faces, [tex3]\mathsf{1}[/tex3]
delas é a base, então [tex3]\mathsf{(n \ - \ 1)}[/tex3]
são as faces laterais.
Tendo [tex3]\mathsf{(n \ - \ 1)}[/tex3]
faces laterais, temos [tex3]\mathsf{(n \ - \ 1)}[/tex3]
arestas laterais que fincam em [tex3]\mathsf{(n \ - \ 1)}[/tex3]
vértices da base.
Logo, a base é um polígono regular de [tex3]\mathsf{(n \ - \ 1)}[/tex3]
lados.
Sendo tal polígono regular, a altura relativa À base finca-se no centro do polígono, que logo é o circuncentro.
Logo, podemos determinar um Pitágoras entre o raio [tex3]\mathsf{R}[/tex3]
da circunferência circunscrita à base, altura [tex3]\mathsf{H}[/tex3]
e aresta lateral [tex3]\mathsf{l \ \Rrightarrow}[/tex3]
[tex3]\boxed{\mathsf{l^2 \ - \ R^2 \ = \ H^2}}[/tex3]
Calculando a área da base [tex3]\rightarrow [/tex3]
Temos um polígono regular de [tex3]\mathsf{(n \ - \ 1)}[/tex3]
lados. Logo, a circunferência circunscrita determina nesse polígono ângulos centrais de [tex3]\mathsf{\psi \ = \ \dfrac{2 \cdot \pi}{n \ - \ 1}}[/tex3]
radianos.
Nesse polígono, a circunscrita também determina [tex3]\mathsf{(n \ - \ 1)}[/tex3]
triângulos isósceles de lados iguais iguais a [tex3]\mathsf{R}[/tex3]
e ângulo entre esses lados (ângulo central) [tex3]\mathsf{\psi \ = \ \dfrac{2 \ \cdot \ \pi}{n \ - \ 1}}[/tex3]
rad.
A área da base [tex3]\mathsf{A_b}[/tex3]
é a soma das áreas desses [tex3]\mathsf{(n \ - \ 1)} \ \triangle \ \rightsquigarrow[/tex3]
[tex3]\mathsf{A_b \ = \ (n \ - \ 1) \ \cdot \dfrac{R \ \cdot \ R \ \cdot \ \sen(\psi)}{2}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\mathsf{A_b \ = \ \dfrac{(n \ - \ 1) \ \cdot \ R^2 \ \cdot \ \sen\Big(\frac{2 \ \cdot \ \pi}{n \ - \ 1}\Big)}{2}}}[/tex3]
Logo, o volume dessa pirâmide é [tex3]\hookrightarrow [/tex3]
[tex3]\mathsf{V_{(pir)} \ = \ \dfrac{A_b \ \cdot \ H}{3} \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{V_{(pir)} \ = \ \dfrac{(n \ - \ 1) \ \cdot \ R^2 \ \cdot \ \sen\Big(\frac{2 \ \cdot \ \pi}{n \ - \ 1}\Big) \ \cdot \ H}{6}}[/tex3]
O enunciado fala do produto [tex3]\mathsf{p}[/tex3]
da altura [tex3]\mathsf{H}[/tex3]
pelo volume [tex3]\mathsf{V_{(pir)} \ \Rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{p \ =\ V_{(pir)} \ \cdot \ H \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{p \ =\ \dfrac{(n \ - \ 1) \ \cdot \ R^2 \ \cdot \ \sen\Big(\frac{2 \ \cdot \ \pi}{n \ - \ 1}\Big) \ \cdot \ \overbrace{H^2}^{\big(l^2 \ - \ R^2\big)}}{6}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{p \ = \ \dfrac{\big(l^2 \ - \ R^2\big) \ \cdot \ (n \ - \ 1) \ \cdot \ R^2 \ \cdot \ \sen\Big(\frac{2 \ \cdot \ \pi}{n \ - \ 1}\Big)}{6}} \ \rightarrow[/tex3]
Seja [tex3]\mathsf{R^2 \ =\ y} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\mathsf{p \ = \ \dfrac{\big(l^2 \ - \ y\big) \ \cdot \ (n \ - \ 1) \ \cdot \ y \ \cdot \ \sen\Big(\frac{2 \ \cdot \ \pi}{n \ - \ 1}\Big)}{6}} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\mathsf{p \ =\ \dfrac{l^2 \ \cdot \ (n \ - \ 1) \ \cdot \ y \ \cdot \ \sen\Big(\frac{2 \ \cdot \ \pi}{n \ - \ 1}\Big) \ - \ y \ \cdot \ (n \ - \ 1) \ \cdot \ y \ \cdot \ \sen\Big(\frac{2 \ \cdot \ \pi}{n \ - \ 1}\Big)}{6}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{p \ =\ \dfrac{l^2 \ \cdot \ (n \ - \ 1) \ \cdot \ y \ \cdot \ \sen\Big(\frac{2 \ \cdot \ \pi}{n \ - \ 1}\Big) \ - \ y^2 \ \cdot \ (n \ - \ 1) \ \cdot \ \sen\Big(\frac{2 \ \cdot \ \pi}{n \ - \ 1}\Big)}{6}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{p \ =\ \dfrac{- \ y^2 \ \cdot \ (n \ - \ 1) \ \cdot \ \sen\Big(\frac{2 \ \cdot \ \pi}{n \ - \ 1}\Big)}{6} \ + \ \dfrac{y\ \cdot \ l^2 \ \cdot \ (n \ - \ 1) \ \cdot \ \sen\Big(\frac{2 \ \cdot \ \pi}{n \ - \ 1}\Big)}{6}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{a)}[/tex3]
O valor de [tex3]\mathsf{y}[/tex3]
para qual [tex3]\mathsf{p}[/tex3]
é máximo [tex3]\rightarrow [/tex3]
Tratando-se de uma função de segundo grau, quando [tex3]\mathsf{y \ = \ X_v \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{y \ =\ \dfrac{-b}{ \ 2 \ \cdot \ a} \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{y \ = \ \dfrac{- \frac{l^2 \cancel{\ \cdot \ (n \ - \ 1) \ \cdot \ \sen\Big(\frac{2 \ \cdot \ \pi}{n \ - \ 1}\Big)}}{\cancel{6}}}{2\ \cdot \ \frac{\cancel{-\ \cdot \ (n \ - \ 1) \ \cdot \ \sen\Big(\frac{2 \ \cdot \ \pi}{n \ - \ 1}\Big)}}{\cancel{6}}}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\underbrace{y}_{R^2} \ =\ \dfrac{-l^2}{-2} \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{R^2 \ = \ \dfrac{l^2}{2} \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{R \ = \ \dfrac{l \ \cdot \ \sqrt{2}}{2}}}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{b)}[/tex3]
O valor máximo de [tex3]\mathsf{p}[/tex3]
[tex3]\rightarrow [/tex3]
isso é quando [tex3]\mathsf{p \ = \ Y_v \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{p \ = \ \dfrac{- \ \Delta}{\ 4 \ \cdot \ a} \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{p \ = \ \dfrac{- \ (b^2 \ -\ \overbrace{\cancel{4 \ \cdot \ a \ \cdot \ c}}^{c \ =\ 0})}{\ 4 \ \cdot \ a} \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{p \ = \ \dfrac{-b^2}{4 \ \cdot a} \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{p \ = \ \dfrac{-\Bigg(\frac{l^2 \ \cdot \ (n \ - \ 1) \ \cdot \ \sen\Big(\frac{2 \ \cdot \ \pi}{n \ - \ 1}\Big)}{6}\Bigg)^2}{4 \ \cdot \frac{ - \ (n \ - \ 1) \ \cdot \ \sen\Big(\frac{2 \ \cdot \ \pi}{n \ - \ 1}\Big)}{6}} \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{p \ = \ \dfrac{l^4 \ \cdot \ \Bigg(\frac{(n \ - \ 1) \ \cdot \ \sen\Big(\frac{2 \ \cdot \ \pi}{n \ - \ 1}\Big)}{6}\Bigg)^{\cancel{2}}}{4 \ \cdot \cancel{\Bigg(\frac{(n \ - \ 1) \ \cdot \ \sen\Big(\frac{2 \ \cdot \ \pi}{n \ - \ 1}\Big)}{6}\Bigg)}} \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{p \ = \ \dfrac{l^4 \ \cdot \ (n \ - \ 1) \ \cdot \ \sen\Big(\frac{2 \ \cdot \ \pi}{n \ - \ 1}\Big)}{24}}}}[/tex3]
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
Poli-USP
