IME / ITA ⇒ (AFA - 2003) Trigonometria Tópico resolvido

[brunoafa]

Considere a função real definida por [tex3]y=\frac{\cos2x}{1+\sin2x}[/tex3]

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[tex3]y=\frac{\cos2x}{1+\sin2x}[/tex3]

e as seguintes afirmações:

I) A função é decrescente em todo o seu domínio

II) O gráfico da função apresenta assíntotas nos arcos [tex3]\frac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z}[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z}[/tex3]

III) A função é negativa em [tex3]\left[0,\frac{\pi}{4}\right[[/tex3]

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[tex3]\left[0,\frac{\pi}{4}\right[[/tex3]

IV) A função admite inversa em [tex3]\left[0,\frac{\pi}{2}\right][/tex3]

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[tex3]\left[0,\frac{\pi}{2}\right][/tex3]

São verdadeiras somente as afirmativas contidas nos itens

a) I e II
b) II e III
c) III e IV
d) I e IV

[petras]

brunoafa,

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[tex3]\mathsf {y = \frac{cos2x}{1+sen2x}\\
\bullet cos(2x) = cos^2 x − sen^2 x\\
\bullet sen(2x) = 2 sen x cos x\\
\therefore \frac{cos^2x-sen^2x}{\underbrace{1}_{cos^2x+sen^2x}+2senxcosx}\\
\frac{cos^2x-sen^2x}{(cos^2x+sen^2x)+2senxcosx}\implies \frac{(cosx-senx)(cosx+senx)}{(cosx+senx)^2}\\
\therefore \frac{(cosx-senx)}{(cosx+senx)}\\
I) y' = \frac{-2}{1+sen(2x)}\implies \frac{(-)}{(+)}=(-)\therefore y'<0\implies~y:decrescente

}[/tex3]

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[tex3]\mathsf {y = \frac{cos2x}{1+sen2x}\\
\bullet cos(2x) = cos^2 x − sen^2 x\\
\bullet sen(2x) = 2 sen x cos x\\
\therefore \frac{cos^2x-sen^2x}{\underbrace{1}_{cos^2x+sen^2x}+2senxcosx}\\
\frac{cos^2x-sen^2x}{(cos^2x+sen^2x)+2senxcosx}\implies \frac{(cosx-senx)(cosx+senx)}{(cosx+senx)^2}\\
\therefore \frac{(cosx-senx)}{(cosx+senx)}\\
I) y' = \frac{-2}{1+sen(2x)}\implies \frac{(-)}{(+)}=(-)\therefore y'<0\implies~y:decrescente

}[/tex3]

II) Assíntotas ocorrem quando 1 + sen(2x) = 0
Ou seja: sen(2x) = -1 [tex3]\rightarrow x = \frac{3\pi}{4}+2k \pi[/tex3]

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[tex3]\rightarrow x = \frac{3\pi}{4}+2k \pi[/tex3]

III) cos(2x) é positivo de (0, [tex3]\frac{\pi }{4})\implies(1,0)[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi }{4})\implies(1,0)[/tex3]

1+sen(2x) é positivo de (0, [tex3]\frac{\pi }{4})\implies (1,2)\\
\therefore \frac{cos2x}{1+sen2x} > 0 (0,\frac{\pi}{4})[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi }{4})\implies (1,2)\\
\therefore \frac{cos2x}{1+sen2x} > 0 (0,\frac{\pi}{4})[/tex3]

IV) [tex3][0,\frac{\pi }{2})\implies bijetora \therefore admite~ inversível[/tex3]

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[tex3][0,\frac{\pi }{2})\implies bijetora \therefore admite~ inversível[/tex3]

I e IV verdadeiras