IME / ITA

Analise as preposições abaixo, classificando-as em (V) verdadeiras ou (F) falsas.

( ) Considere a circunferência $\lambda$ e a hipérbole $2y^2-x^2=8$ , tendo mesmo centro. Se $\lambda$ passa pelos focos da hipérbole, uma de suas equações é $x^2+y^2=12$
( ) Numa hiperbóle equilátera, uma das assíntotas tem coeficiente angular igual a $\frac{\sqrt2}{2}$
( ) A excentricidade da elipse $x^2+4y^2=4$ é igual a $\frac{\sqrt3}{2}$

Tem-se a sequência:

a) V, F, V
b) F, F, V
c) F, V, F
d) V, V, F

Resposta

Letra A

Só não entendi a primeira afirmação. Cheguei em $\begin{cases}12+y^2=R^2 \\ \\ x^2+12=R^2 \end{cases}$

O que não é propriamente a equação que ele deu...

Hola.

Fazendo a primeira pergunta:

Seja a hipérbole:
[tex3]2y^2-x^2=8\\
\frac{2y^2}{8}-\frac{x~2}{8}=\frac{8}{8}\\
\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{8}=1[/tex3]
É uma hipérbole vertical, pois começa com y^2.
Daqui tiramos:

[tex3]a^2=4\\
a=\sqrt{4}\\
a=2\\
e\\
b^2=8\\
b=\sqrt{8}\\
b = 2*sqrt{2}[/tex3]

[tex3]c^2=a^2+b^2\\
c^2=2^2+(2\sqrt2}^2\\
c^2=4+4*2\\
c^2=12\\
c=sqrt{12}[/tex3]
Portanto:
[tex3]F_1(0,\/sqrt{12})\\
e\\
F_2(0,\/-\sqrt{12})[/tex3]

Elas têm mesmo centro. Se [tex3]\lambda[/tex3] passa pelos focos da hipérbole, uma de suas equações é [tex3]x^2+y^2=12[/tex3]
Substituindo [tex3]F_1\/ou\/F_2 \/em\/x^2+y^2=12[/tex3]
Portanto:
[tex3]x^2+y^2=12\\
0^2+(\sqrt{12})^2=12\\
0+12=12\\
12=12,\/ verdadeiro[/tex3]

ALEXZOE

COLEGAS, SOBRE A QUESTÃO ACRESCENTO ALGO NOS ITENS II e III:

I) VERDADEIRO

II) FALSO, POIS:

AS ASSINTOTAS DE UMA HIPÉRBOLE SÃO CALCULADAS POR:

y = [tex3]\pm \frac{b}{a}x[/tex3] (eixo real paralelo ao eixo x) ou y = [tex3]\pm \frac{a}{b}x[/tex3] (eixo real paralelo ao eixo y).

Quando a Hipérbole é equilátera, temos a=b. dessa forma, perceba que $\frac{\sqrt2}{2}$ implica [tex3]a\neq b[/tex3] . Por isso é falso.

III) VERDADEIRO, POIS:

A QUESTÃO TRAZ UMA ELIPSE (e não uma hipérbole). logo, a=2 , b=1 e c=[tex3]\sqrt{3}[/tex3] , pois [tex3]a^2=b^2+c^2\\c^2=2^2-1^2=3\\c=sqrt{3}[/tex3]

Portanto,

[tex3]e=\frac{c}{a}\\e=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3] , que é verdadeiro.

R: VFV (LETRA A).

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