IME / ITA ⇒ (AFA- 1996) Geometria Espacial Tópico resolvido

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Qual a diferença entre a área de um triângulo equilátero de lado

Código: Selecionar tudo

[tex3]a[/tex3]

e [tex3]\alpha[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha[/tex3]

da circunferência nele inscrita?

a) [tex3]\frac{a^{2}(2\sqrt{3}-\pi )}{12}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a^{2}(2\sqrt{3}-\pi )}{12}[/tex3]

b) [tex3]\frac{a^{2}(3\sqrt{3}-\pi )}{12}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a^{2}(3\sqrt{3}-\pi )}{12}[/tex3]

c) [tex3]\frac{a^{2}(4\sqrt{3}-\pi )}{12}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a^{2}(4\sqrt{3}-\pi )}{12}[/tex3]

d) [tex3]\frac{a^{2}(5\sqrt{3}-\pi )}{12}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a^{2}(5\sqrt{3}-\pi )}{12}[/tex3]

[Gauss]

Área do triângulo:

Código: Selecionar tudo

[tex3]A_T=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}[/tex3]

Área da circunferência:

Código: Selecionar tudo

[tex3]h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\\\R=\frac{h}{3}\rightarrow R=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}\rightarrow R=\frac{a\sqrt{3}}{6}\\\\A_C=\pi R^2\\\\A_C=\pi\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 \\\\A_C=\frac{a^2\pi }{12}\\\\D=A_T-A_C\\\\D=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}-\frac{a^2\pi }{12}\\\\\boxed {D=\frac{a^2(3\sqrt{3}-\pi )}{12}}[/tex3]

Obs: O raio da circunferência inscrita num triângulo equilátero equivale a um terço da altura deste triângulo.

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Obrigado!

[Gauss]

De nada!