IME / ITA

O valor de $\sin\left(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2^{n}}\right)$ , $n \in \mathbb{N}$ , é:

a)-1

b)0

c) $\frac{1}{2}$

d)1

Mensagem não lidapor **danjr5** » Sáb 28 Mai, 2016 20:08

Da soma,

$\\ \frac{\pi}{2^1} + \frac{\pi}{2^2} + \frac{\pi}{2^3} + ... + \frac{\pi}{2^{n - 1}}+ \frac{\pi}{2^n} = \\\\\\ \pi \cdot \left ( \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + ... + \frac{1}{2^{n - 1}}+ \frac{1}{2^n} \right )$

Como podes notar, o fator entre parênteses é uma progressão geométrica cuja razão e o primeiro termo vale $\frac{1}{2}$ . Sabe-se que a soma dos termos nessa condição é dada por $\frac{a_1}{1 - q}$ .

Por fim,

$\\ \sin \left ( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{8} + ... \right ) = \\\\ \sin (\pi \cdot 1) = \\\\ \boxed{\boxed{0}}$

danjr5 escreveu:Da soma,

$\\ \frac{\pi}{2^1} + \frac{\pi}{2^2} + \frac{\pi}{2^3} + ... + \frac{\pi}{2^{n - 1}}+ \frac{\pi}{2^n} = \\\\\\ \pi \cdot \left ( \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + ... + \frac{1}{2^{n - 1}}+ \frac{1}{2^n} \right )$

Código: Selecionar tudo

[tex3]\\ \frac{\pi}{2^1} + \frac{\pi}{2^2} + \frac{\pi}{2^3} + ... + \frac{\pi}{2^{n - 1}}+ \frac{\pi}{2^n} = \\\\\\ \pi \cdot \left ( \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + ... + \frac{1}{2^{n - 1}}+ \frac{1}{2^n} \right )[/tex3]

Como podes notar, o fator entre parênteses é uma progressão geométrica cuja razão e o primeiro termo vale $\frac{1}{2}$

Código: Selecionar tudo

[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

. Sabe-se que a soma dos termos nessa condição é dada por $\frac{a_1}{1 - q}$

Código: Selecionar tudo

[tex3]\frac{a_1}{1 - q}[/tex3]

.

Por fim,

$\\ \sin \left ( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{8} + ... \right ) = \\\\ \sin (\pi \cdot 1) = \\\\ \boxed{\boxed{0}}$

Código: Selecionar tudo

[tex3]\\ \sin \left ( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{8} + ... \right ) = \\\\ \sin (\pi \cdot 1) = \\\\ \boxed{\boxed{0}}[/tex3]

Entendi seu raciocínio. Só não entendi porque ficou $\\\\ \sin (\pi \cdot 1)$ . Terias como me esclarecer?

Mensagem não lidapor **danjr5** » Sáb 28 Mai, 2016 20:53

A soma da P.G vale 1; isto é, $\left ( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... \right ) = 1$ .

Obrigado!!

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