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(AFA 1996) Geometria Analítica
Enviado: Dom 22 Mai, 2016 15:33
por futuromilitar
Sejam os triângulos ABC e CDE. O triângulo ABC está inscrito em uma circunferência de raio [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
. [tex3]\overline{CA}=\sqrt{3}[/tex3]
e ainda AB é um diâmetro da mesma. Os vértices D e E do triângulo CDE são a intersecção do prolongamento dos lados CA e CB com a reta paralela a AB e tangente a mesma circunferência. O valor de DE é:
a) [tex3]9[/tex3]
b) [tex3]5\sqrt{3}[/tex3]
c) [tex3]6+\sqrt{3}[/tex3]
d) [tex3]2\(2+\sqrt{3}\)[/tex3]
Re: (AFA 1996) Geometria Analítica
Enviado: Dom 22 Mai, 2016 22:51
por LucasPinafi
Uma maneira analítica de resolver tal exercício é: seja a circunferência [tex3]x^2+y^2 = 3[/tex3]
. Tomemo o segmento AB como sendo o segmento que liga os pontos [tex3](-\sqrt 3, 0)[/tex3]
e [tex3](\sqrt 3, 0)[/tex3]
. O triângulo ABC é retângulo, pois AB é o diâmetro. Assim, pode-se calcular o valor do segmento de reta BC a partir da relação de Pitágoras: [tex3](AB)^2 = (AC)^2 + (BC)^2 \therefore BC = 3[/tex3]
. Assim, pode-se calcular facilmente os ângulos internos do triângulo: [tex3]\tan (\angle BAC) = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt 3[/tex3]
e [tex3]\tan (\angle CBA) = \frac {\sqrt 3} 3[/tex3]
. As equações das retas que passam por A e C e por B e C são, respectivamente, [tex3]y-0= \sqrt 3 (x+ \sqrt 3) \therefore y = \sqrt 3 x + 3[/tex3]
e [tex3]y=-\frac{\sqrt 3} 3 (x - \sqrt 3 ) = -\frac{\sqrt 3} 3 x+ 1[/tex3]
. A reta DE deve ser a reta [tex3]y=-\sqrt 3[/tex3]
. Portanto, achando as intersecções,
* Do prolongamento de CA: [tex3]\sqrt 3 x + 3= - \sqrt 3 \therefore x = -\frac{3+\sqrt 3}{\sqrt 3}= -(\sqrt 3 + 1)[/tex3]
* Do prolongamento de CE: [tex3]-\frac{\sqrt 3 } 3x +1= - \sqrt 3 \therefore x = \frac{3+3\sqrt 3}{\sqrt 3}= \sqrt 3 +3[/tex3]
Logo, DE = [tex3]\sqrt 3 + 3 + \sqrt 3 + 1 = 2 ( 2 + \sqrt 3 )[/tex3]
Re: (AFA 1996) Geometria Analítica
Enviado: Dom 21 Fev, 2021 20:02
por ALANSILVA
Olá Boa noite,
Tem como resolver por geometria plana?
Re: (AFA 1996) Geometria Analítica
Enviado: Dom 21 Fev, 2021 21:32
por petras
futuromilitar,ALANSILVA,
[tex3]\mathtt {\Delta{ABC} : BC^2=AB^2-AC^2=(2\sqrt{3})^2-\sqrt{3}^2=3\\
\rightarrow a.h=b.c\rightarrow h=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{3}{2}=CJ\\
\Delta{ABC}\sim\Delta{CDE}:\frac{AB}{DE}=\frac{CJ}{CJ+OG}\rightarrow \frac{2\sqrt{3}}{DE}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}+\sqrt{3}}\rightarrow \\
\frac{3DE}{2}=3\sqrt{3}+6\rightarrow 3DE=6\sqrt{3}+12\therefore \boxed{\color{red}DE = 2\sqrt{3}+4=2(\sqrt{3}+2)}
}[/tex3]
Re: (AFA 1996) Geometria Analítica
Enviado: Dom 21 Fev, 2021 21:48
por ALANSILVA
[tex3]OG=\sqrt{3}[/tex3]
É raio, ou estou equivocado?
Re: (AFA 1996) Geometria Analítica
Enviado: Dom 21 Fev, 2021 21:54
por petras
ALANSILVA,
Conforme enunciado a circunferência tem raio [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
Re: (AFA 1996) Geometria Analítica
Enviado: Dom 21 Fev, 2021 21:56
por ALANSILVA
petras,
Minha dúvida está nesse [tex3]OG= \frac{3}{2}+\sqrt{3}[/tex3]
. Não entendi isso na semelhança.
Re: (AFA 1996) Geometria Analítica
Enviado: Dom 21 Fev, 2021 22:03
por petras
ALANSILVA,
A notação do triângulo estava errada mas já corrigi.
CJ é altura do triângulo ABC portanto precisamos da altura do triângulo CDE que será
a altura do triângulo ABC + raio da circunferência=[tex3]\frac{3}{2}+\sqrt{3}[/tex3]