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Numa pirâmide triangular regular a aresta da base mede 6cm e a da lateral 8cm. Então o apótema da pirâmide e o da sua base
valem, em cm, respectivamente:

A) [tex3]\sqrt{55} e \sqrt{3}[/tex3]

B) [tex3]\sqrt{3} e 3\sqrt{5}[/tex3]

C) [tex3]\sqrt{3}[/tex3] [tex3]e[/tex3] [tex3]3\sqrt{3}[/tex3]

D) [tex3]\sqrt{55}[/tex3] [tex3]e[/tex3] [tex3]\sqrt{55}[/tex3]

Minha dúvida é se essas alternativas estão corretas. Fiz meu cálculo e achei o apótema da pirâmide([tex3]a=\frac{L\sqrt{3}}{6}\rightarrow a=\frac{2*3\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}[/tex3] ) e não estou conseguindo encontrar o apótema da base. Alguém enxerga algo diferente??

Pirâmide regular [tex3]\longrightarrow[/tex3] Base regular

No caso de uma uma pirâmide regular triangular, a base é um triângulo equilátero.

Eu ainda estou aprendendo a usar o Geogebra... kkkk.

Observe o esquema da pirâmide :

: geogebra-export (1).png (50.82 KiB) Exibido 2352 vezes

As arestas são [tex3]\longrightarrow[/tex3]

[tex3]AB \ = \ BC \ = \ AC \ = 6 \ cm;[/tex3]

[tex3]AD \ = \ BD \ = \ CD \ = \ 8 \ cm.[/tex3]

Observe a base [tex3]ABC[/tex3] . O ponto [tex3]F[/tex3] é, ao mesmo tempo, o baricentro, o circuncentro, o incentro e o ortocentro.

O que nos interessa é que o ponto [tex3]F[/tex3] corta a altura do [tex3]\Delta ABC[/tex3] em [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] e [tex3]\frac{1}{3}[/tex3] .

Sendo [tex3]E[/tex3] o ponto médio de [tex3]AB[/tex3] , [tex3]EF[/tex3] é o apótema da base.

Ou seja, [tex3]EF[/tex3] é um terço da altura da pirâmide.

[tex3]EF \ = \ \frac{1}{3} \ \cdot \ \frac{l \ \cdot \ \sqrt{3}}{2} \ \rightarrow \ l \ = \ 6 \ cm :[/tex3]

[tex3]EF \ = \ \frac{\cancel{6} \ \cdot \ \sqrt{3}}{\cancel{6}} \ \rightarrow \ \boxed{\boxed{EF \ = \ \sqrt{3} \ cm}} \ \rightarrow[/tex3] Apótema da base [tex3]\Delta ABC \ ![/tex3]

Observe agora o esquema destacado da face lateral :

: geogebra-export2 (2).png (20.47 KiB) Exibido 2352 vezes

Veja que, se [tex3]AB \ = \ 6 \ cm[/tex3] e [tex3]BC \ = \ CD \ = \ 8 \ cm[/tex3] , as faces são [tex3]\Delta 's[/tex3] isósceles.

Além disso, [tex3]E[/tex3] é ponto médio de [tex3]AB[/tex3] ([tex3]AE \ = \ EB \ = \ 3 \ cm[/tex3] .)

O apótema da pirâmide é a altura lateral. Sendo as faces laterais isósceles, a altura relativa à base finca-se no ponto médio da mesma. Ou seja, [tex3]DE[/tex3] é a altura e é o apótema da pirâmide.

PItágoras em [tex3]ADE \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]AD^2 \ = \ AE^2 \ + \ DE^2 \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]8^2 \ = \ 3^2 \ + \ DE^2 \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]64 \ = \ 9 \ + \ DE^2 \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]DE^2 \ = \ 64 \ - \ 9 \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]DE^2 \ = \ 55 \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{DE \ = \ \sqrt{55} \ cm}} \ \rightarrow[/tex3] Apótema da pirâmide ! (altura lateral.)

joaopcarv, Perfeita sua resolução. Essa noção dos pontos notáveis no triângulo equilátero não lembrava,valeu

: GEO030301b.gif (9.1 KiB) Exibido 2346 vezes

Lucabral escreveu: ↑
Sex 13 Out, 2017 13:51
joaopcarv, Perfeita sua resolução. Essa noção dos pontos notáveis no triângulo equilátero não lembrava,valeu

GEO030301b.gif

Olá, Lucabral. Obrigado pelo elogio!

O triângulo retângulo e o isósceles são mais "manjados" rsrs porque seus pontos notáveis concidem (só há um no isósceles que eu não coincide, acho que é o circuncentro).

Obrigado pelo elogio

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