IME / ITA ⇒ (AFA - 1995) Determinantes Tópico resolvido

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Alguém pode ajudar??

O determinante associado à matriz

Código: Selecionar tudo

[tex3]M=\begin{pmatrix}a & a & a & a \\ a & x & x & x \\ a & x & y & y \\ a & x & y & 1 \\ \end{pmatrix}[/tex3]

é igual a:

a)

Código: Selecionar tudo

[tex3]a(x-a)(y-x)^2[/tex3]

b)

Código: Selecionar tudo

[tex3]a(1-x)(1-y)(x-a)[/tex3]

c)

Código: Selecionar tudo

[tex3]a(x-a)^2(1-y)[/tex3]

d)

Código: Selecionar tudo

[tex3]a(x-a)(y-x)(1-y)[/tex3]

[undefinied3]

Código: Selecionar tudo

[tex3]\begin{vmatrix}
a & a & a & a \\
a & x & x & x \\
a & x & y & y \\
a & x & y & 1 \\
\end{vmatrix}= a.
\begin{vmatrix}
1 & a & a & a \\
1 & x & x & x \\
1 & x & y & y \\
1 & x & y & 1 \\
\end{vmatrix}=a.
\begin{vmatrix}
x-a & x-a & x-a \\
x-a & y-a & y-a \\
x-a & y-a & 1-a
\end{vmatrix}=a(x-a)
\begin{vmatrix}
1 & x-a & x-a \\
1 & y-a & y-a \\
1 & y-a & 1-a
\end{vmatrix}=[/tex3]

Código: Selecionar tudo

[tex3]a(x-a)
\begin{vmatrix}
(y-a)-(x-a) & (y-a)-(x-a) \\
(y-a)-(x-a) & (1-a)-(x-a)
\end{vmatrix}=a(x-a)
\begin{vmatrix}
y-x & y-x \\
y-x & 1-x
\end{vmatrix}=[/tex3]

O último determinante pode ser facilmente calculado:

Código: Selecionar tudo

[tex3](y-x)(1-x)-(y-x)^2=(y-x) (1-x-(y-x)) =(y-x) (1-y)[/tex3]

Assim,

Código: Selecionar tudo

[tex3]det(M)=a(x-a)(y-x)(1-y)[/tex3]

Letra D
Foram utilizadas a Regra de Chió e a propriedade de pôr em evidência um fator de uma fila.

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Perfeito. Obrigado.