IME / ITA ⇒ (EFOMM - 2015) Polinômios Tópico resolvido

[lflusao]

Seja o polinômio

[tex3]p(x)=x^6-26x^4-32x^3-147x^2-96x-180[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p(x)=x^6-26x^4-32x^3-147x^2-96x-180[/tex3]

.

A respeito das raízes da equação [tex3]p(x)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p(x)=0[/tex3]

, podemos afirmar que

( a ) todas as raízes são reais.
( b ) somente duas raízes são reais, sendo elas distintas.
( c ) somente duas raízes são reais, sendo elas iguais.
( d ) somente quatro raízes são reais, sendo todas elas distintas.
( e ) nenhuma raiz é real.

[Gauss]

UP!

[Cardoso1979]

Observe

Solução

Já que o polinômio é de grau par, ele pode ter 0 , 2 , 4 ou 6 raízes reais. Vamos então testar as possíveis raízes racionais que são os divisores de 180( termo independente do polinômio ), ou seja , D( 180 ) = { ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 9 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 18 , ± 20 , ± 30 , ± 36 , ± 45 , ± 60 , ± 90 , ± 180 }. Vem;

p( x ) = x [tex3]^{6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]^{6}[/tex3]

- 26x⁴ - 32x³ - 147x² - 96x - 180

p( 1 ) , não é raíz ( verifique ! )
p( - 1 ) , não é raíz ( verifique ! )
.
.
.
[tex3]p(x)=(-5)^6-26.(-5)^4-32.(-5)^3-147.(-5)^2-96.(-5)-180=0, \ Ôpa!\ é \ raíz.[/tex3]

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[tex3]p(x)=(-5)^6-26.(-5)^4-32.(-5)^3-147.(-5)^2-96.(-5)-180=0, \ Ôpa!\ é \ raíz.[/tex3]

Lembrando que p(x) é de grau par, devemos então ter outras raízes reais ( ou pelo menos mais uma raíz real ). Vamos testar mais alguns candidatos a raízes.

[tex3]p(6)=6^6-26.6^4-32.6^3-147.6^2-96.6-180=0. \ Ôpa! \ também \ é \ raíz[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p(6)=6^6-26.6^4-32.6^3-147.6^2-96.6-180=0. \ Ôpa! \ também \ é \ raíz[/tex3]

Aplicando o dispositivo de Briott-Ruffini ( baixar o grau do polinômio ) para as duas raízes encontradas acima, o polinômio resultante é q( x ) = x⁴ + x³ + 5x² + 3x + 6.

Daí;

q( x ) = x⁴ + x³ + 5x² + 3x + 6

q( x ) = x⁴ + x³ + 2x² + 3x² + 3x + 6

q( x ) = x².( x² + x + 2 ) + 3.( x² + x + 2 )

q( x ) = ( x² + 3 ).( x² + x + 2 )

Assim, temos:

p( x ) = ( x + 5 ).( x - 6 ).( x² + 3 ).( x² + x + 2 )

Os polinômios x² + 3 e x² + x + 2 não possuem raízes reais, então o polinômio p( x ) possui duas raízes reais , - 5 e 6 , e mais quatro raízes complexas. Dessa forma, o polinômio possui somente duas raízes reais, sendo elas distintas. Portanto, alternativa ( b).

Nota

Raízes racionais

Teorema

Seja p/q com p e q inteiros primos entre si e q ≠ 0.

Se p/q é raiz da equação polinomial [tex3]a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_{0}=0[/tex3]

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[tex3]a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_{0}=0[/tex3]

, na variável x e com "coeficientes inteiros", então p é divisor de [tex3]a_{0}[/tex3]

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[tex3]a_{0}[/tex3]

e q é divisor de [tex3]a_{n}[/tex3]

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[tex3]a_{n}[/tex3]

.

Bons estudos!