IME / ITA(AFA) Geometria Analítica

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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brunoafa
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(AFA) Geometria Analítica

Mensagem não lida por brunoafa »

Os vértices de um triângulo ABC são os centros das circunferências:
\lambda_{1}: x^2+y^2+2x-4y-1=0
\lambda_{2}: 4x^2+4y^2+12x-8y-15=0
\lambda_{3}: (x-7)^2+(y+3)^2=8

O tetraedro cuja base é o triângulo ABC e cuja altura, em metros, é igual a média aritmética dos quadrados dos raios das circunferências acima, também em metros, possui volume, em m^3, igual a:

A)\frac{21}{2}
B)\frac{49}{4}
C)\frac{49}{2}
D)\frac{21}{4}


Gabarito: B

Bom, eu achei a area do triângulo como \frac{9}{2} e a altura como 27 m

Então V= \frac{1}{3} \cdot A \cdot B, seria \frac{27}{2} mas não bate com as alternativas...

Última edição: brunoafa (Qua 20 Mai, 2015 16:53). Total de 1 vez.


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LucasPinafi
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Re: (AFA) Geometria Analítica

Mensagem não lida por LucasPinafi »

Fiz aqui e bateu com a alternativa B



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LucasPinafi
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Re: (AFA) Geometria Analítica

Mensagem não lida por LucasPinafi »

\lambda_1 : (x+1)^2 +(y-2)^2 =6
\lambda _2 : (x+ 1,5)^2+(y-1)^2 =7
\lambda_3 : (x-7)^2 +(y+3)^2 =8
Centros:
A=(-1,2,0) , B=(-1,5,1,0) ,C= (7,-3,0) (o triângulo está no plano xy, logo todos possuem cota zero)
\vec{AC}= (7,-3,0) - (-1,2,0) =(8,-5,0)
\vec{AB}= (-1,5,-1,0) - (-1,2,0) = (-1,5 ,-1,0)
A área será dada por:
A= \frac{|| \vec{AB} \times \vec{AC}||}{2}
Como \vec{AB} \times \vec{AC} = \frac{21}{2} \vec{k}, resulta que:
A= \frac{21}{4}
A altura sera dada por:
h- \frac{6+7+8}{3}= \frac{21}{3}
Resulta então:
V= \frac{1}{3} \frac{21}{4} \frac{21}{3}= \frac{49}{4}
obs: usei vetores, pois acho mais cômodo. Você poderia trabalhar apenas com as coordenadas dos pontos como o usual no ensino médio, calculando a área através daquele determinante. Porém recomendo fortemente você dar uma olhada em vetores e suas operações, nesse caso produto vetorial. Facilitará sua vida até mesmo em problemas de geometria plana. Um livro que acho ótimo é "geometria analítica, um tratamento vetorial" do Boulos.
Última edição: LucasPinafi (Qua 20 Mai, 2015 18:06). Total de 1 vez.


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brunoafa
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Re: (AFA) Geometria Analítica

Mensagem não lida por brunoafa »

Por que você usou mais de uma coordenada para os pontos?

Eu achei raios \sqrt6,\sqrt67,\sqrt8 não está certo?

Eu diz diferente....

Achei os centros: (-1,2),(-6,4),(7,-3) e calculei a aréa por aquele "Distositivo Delta".

Enfim, não entendi muito bem sua resolução, depois dou uma olhada melhor, mas queria saber onde errei na minha.
Última edição: brunoafa (Qua 20 Mai, 2015 20:10). Total de 1 vez.


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LucasPinafi
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Re: (AFA) Geometria Analítica

Mensagem não lida por LucasPinafi »

Ok, trabalhando com pontos
C_1 =(-1,2) , C_2= (-1,5,1) , C_3= (7,-3)
A área será:
A= \frac{|\det M|}{2}
M =\begin{pmatrix}
-1 & 2 & 1 \\ 
-\frac{3}{2} & 1& 1  \\ 
7 & -3 & 1 \\ 
\end{pmatrix}
Depois de feito os cálculos, encontramos \det M = \frac{21}{2}
Logo, A= \frac{21}{4}.
depois só proceder da mesma forma
Viu o erro ?
Última edição: LucasPinafi (Qua 20 Mai, 2015 20:23). Total de 1 vez.


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Re: (AFA) Geometria Analítica

Mensagem não lida por LucasPinafi »

Ah ele disse o quadrado dos raios...


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Deleted User 24851
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Re: (AFA) Geometria Analítica

Mensagem não lida por Deleted User 24851 »

Por que quando resolvemos a área do triângulo pela matriz não achamos o resultado correto?
Resolvi a matriz com os centros (-1;2), (-1,5;1), (7;-3) e cheguei ao resultado 10/2 para achar a área é só dividir por 2, então: 10/4.
Sendo a altura do tetraedro igual a 7, temos o volume: 1/3 × 10/4 × 7 = 35/6.




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