IME / ITA(EsPCEx - 2011) Teoria de Conjuntos

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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(EsPCEx - 2011) Teoria de Conjuntos

Mensagem não lida por Cientista »

Considera os conjuntos [tex3]A=[/tex3] {[tex3]-1,2,3[/tex3] } e [tex3]B=[/tex3] {[tex3]x\in \mathbb{R}:|x|\leq 2[/tex3] }.
Define [tex3]A/\overline{B}[/tex3] e [tex3]\overline{A}/(\overline{B\cup \overline{A}})[/tex3]

Última edição: Cientista (Ter 18 Fev, 2014 17:17). Total de 2 vezes.


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Re: (EsPCEx-2011) Teoria de Conjuntos

Mensagem não lida por Cientista »

Faria mais sentido se em ambos os lados tivessem intervalos, porque se temos um intervalo e noutro não, eu posso ter infinitas soluções dependendo do sentido da desigualidade. X maior ou igual a 2, temos ...-2,-1,0,1,2 !



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Re: (EsPCEx-2011) Teoria de Conjuntos

Mensagem não lida por candre »

temos [tex3]A=\{-1,2,3\}[/tex3] e [tex3]B=\{x\in\mathbb{R}:|x|<2\}[/tex3]
temos uma figura representando a situação:
conjuntos
conjuntos
002.png (8.85 KiB) Exibido 4678 vezes
vamos definir primeiramente [tex3]A/\overline{B}[/tex3] (também pode ser representado por [tex3]A-B[/tex3] ), utilizando como auxilio a figura acima.
o conjunto [tex3]B[/tex3] esta sendo representado pela segunda circunferência, temos que seu complemento [tex3]\overline{B}[/tex3] sera os elementos que não estão na segunda circunferência, portanto se excluímos do conjunto [tex3]A[/tex3] todos que não estão em [tex3]\overline{A}[/tex3] teremos [tex3]A\cap B[/tex3] , sendo que [tex3]A\cap B=\{-1,2,3\}\cap\{x\in\mathbb{R}:|x|<2\}=\{-1\}[/tex3]
outra forma e ver que:
[tex3]\overline{B}=\{x\in\mathbb{R}:|x|\ge2\}\\
A/\overline{B}=\{-1,2,3\}/\{x\in\mathbb{R}:|x|\ge2\}=\{-1\}[/tex3] pois [tex3]-1[/tex3] e o único elemento de [tex3]A[/tex3] que não tem modulo maior ou igual a [tex3]2[/tex3]
para [tex3]\overline{A}/(\overline{B\cup \overline{A}})[/tex3] temos:
temos que o conjunto [tex3]\overline{A}[/tex3] esta representado por tudo que esta fora da primeira circunferência, unindo com [tex3]B[/tex3] temos o que esta fora da primeira circunferência incluindo a intersecção das duas circunferências, o complemento disso sera o que esta dentro apenas da primeira circunferência, tirando isso do que esta fora da primeira circunferência continuaremos com e que esta fora da circunferência, teremos então que
[tex3]\overline{A}/(\overline{B\cup\overline{A}})=\overline{A}=\{x\in\mathbb{R}:x\ne-1\text{ e }x\ne2\text{ e }x\ne3\}[/tex3]
outra forma de ver é:
[tex3]\overline{A}=\{x\in\mathbb{R}:x\ne-1\text{ e }x\ne2\text{ e }x\ne3\}\\
B\cup\overline{A}=\{x\in\mathbb{R}:|x|<2\}\cup\{x\in\mathbb{R}:x\ne-1\text{ e }x\ne2\text{ e }x\ne3\}=\\
\{x\in\mathbb{R}:x\ne2\text{ e }x\ne3\}\\
\overline{B\cup\overline{A}}=\{x\in\mathbb{R}:x=2\text{ ou }x=3\}\\
\overline{A}/\overline{B\cup\overline{A}}=\{x\in\mathbb{R}:x\ne-1\text{ e }x\ne2\text{ e }x\ne3\}/\{x\in\mathbb{R}:x=2\text{ ou }x=3\}=\{x\in\mathbb{R}:x\ne-1\text{ e }x\ne2\text{ e }x\ne3\}[/tex3]
Última edição: candre (Qua 19 Fev, 2014 14:34). Total de 2 vezes.


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Re: (EsPCEx-2011) Teoria de Conjuntos

Mensagem não lida por Cientista »

O módulo influência em alguma coisa? Além de tudo, o complementar de x</2 seria x>2.


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Re: (EsPCEx-2011) Teoria de Conjuntos

Mensagem não lida por candre »

o modulo influencia sim, pois e através dele que esta definido os elementos do conjunto [tex3]B[/tex3]
quando a segunda, cometi uma pequena distração e considerei [tex3]B=\{x\in\mathbb{R}:|x|<2\}[/tex3] quanto na verdade é [tex3]|x|\le 2[/tex3] , vou refazer.
Última edição: candre (Qua 19 Fev, 2014 14:57). Total de 2 vezes.


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Re: (EsPCEx-2011) Teoria de Conjuntos

Mensagem não lida por candre »

temos [tex3]A=\{-1,2,3\}[/tex3] e [tex3]B=\{x\in\mathbb{R}:|x|\le2\}[/tex3]
temos uma figura representando a situação:
aux
aux
002.png (8.85 KiB) Exibido 4674 vezes
vamos definir primeiramente [tex3]A/\overline{B}[/tex3] (também pode ser representado por [tex3]A-B[/tex3] ), utilizando como auxilio a figura acima.
o conjunto [tex3]B[/tex3] esta sendo representado pela segunda circunferência, temos que seu complemento [tex3]\overline{B}[/tex3] sera os elementos que não estão na segunda circunferência, portanto se excluímos do conjunto [tex3]A[/tex3] todos que não estão em [tex3]\overline{A}[/tex3] teremos [tex3]A\cap B[/tex3] , sendo que [tex3]A\cap B=\{-1,2,3\}\cap\{x\in\mathbb{R}:|x|\le2\}=\{-1,2\}[/tex3]
outra forma e ver que:
[tex3]\overline{B}=\{x\in\mathbb{R}:|x|>2\}\\
A/\overline{B}=\{-1,2,3\}/\{x\in\mathbb{R}:|x|>2\}=\{-1,2\}[/tex3] pois [tex3]-1[/tex3] e [tex3]2[/tex3] são os únicos elementos de [tex3]A[/tex3] que não tem modulo maior que [tex3]2[/tex3] .
para [tex3]\overline{A}/(\overline{B\cup \overline{A}})[/tex3] temos:
temos que o conjunto [tex3]\overline{A}[/tex3] esta representado por tudo que esta fora da primeira circunferência, unindo com [tex3]B[/tex3] temos o que esta fora da primeira circunferência incluindo a intersecção das duas circunferências, o complemento disso sera o que esta dentro apenas da primeira circunferência, tirando isso do que esta fora da primeira circunferência continuaremos com e que esta fora da circunferência, teremos então que
[tex3]\overline{A}/(\overline{B\cup\overline{A}})=\overline{A}=\{x\in\mathbb{R}:x\ne-1\text{ e }x\ne2\text{ e }x\ne3\}[/tex3]
outra forma de ver é:
[tex3]\overline{A}=\{x\in\mathbb{R}:x\ne-1\text{ e }x\ne2\text{ e }x\ne3\}\\
B\cup\overline{A}=\{x\in\mathbb{R}:|x|\le2\}\cup\{x\in\mathbb{R}:x\ne-1\text{ e }x\ne2\text{ e }x\ne3\}=\\
\{x\in\mathbb{R}:x\ne3\}\\
\overline{B\cup\overline{A}}=\{x\in\mathbb{R}:x=3\}\\
\overline{A}/\overline{B\cup\overline{A}}=\{x\in\mathbb{R}:x\ne-1\text{ e }x\ne2\text{ e }x\ne3\}/\{x\in\mathbb{R}:x=3\}=\\\{x\in\mathbb{R}:x\ne-1\text{ e }x\ne2\text{ e }x\ne3\}[/tex3]
Última edição: candre (Qua 19 Fev, 2014 15:04). Total de 2 vezes.


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Re: (EsPCEx-2011) Teoria de Conjuntos

Mensagem não lida por Cientista »

Primeiramo vamos tirar todos dados possíveis:
Sabemos que [tex3]A=(-1;2;3)=\overline{A}=(-2;0;1;4)[/tex3] e também sabemos que [tex3]B=(-2;-1;0;2)=\overline{B}=(-3;1;3;4)[/tex3] , Agora façamos parte por parte, primeiramente comecemos fazendo:
[tex3]\overline{B\cup \overline{A}}[/tex3] , então tirámos que [tex3](-2;-1;0;2)\cup (-2;0;1;4)=\overline{(-2,-1,0,1,2,4)}=(-3;1;3;5)[/tex3] , agora façamos a diferença, que é o que tem num conjunto e não tem noutro, assim teremos:
[tex3](-2;0;1;4)/(-3;1;3;5)=\boxed{(-2;0;4)}[/tex3] Foi assim como fiz!
Última edição: Cientista (Qua 19 Fev, 2014 15:09). Total de 2 vezes.


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Re: (EsPCEx-2011) Teoria de Conjuntos

Mensagem não lida por Cientista »

Agora não sei se está correcto fazer dessa forma que eu fiz.


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Re: (EsPCEx - 2011) Teoria de Conjuntos

Mensagem não lida por candre »

:) e a unica diferença entre as duas e o universo considerado, sendo que em uma e considerado o conjunto universo como sendo dos inteiros [tex3](U=\mathbb{Z})[/tex3] e em outra e considerada o conjunto universo como sendo dos reais [tex3](U=\mathbb{R})[/tex3] .
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Re: (EsPCEx - 2011) Teoria de Conjuntos

Mensagem não lida por Osiris »

Essa questão é da prova da EsPCEx 2011?




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