Feito isso, acho que as coisas podem ficar mais claras com uma outra aborgadem.Se [tex3]{\color{red}\cancel{P(U)}}\ U[/tex3] possui [tex3]n[/tex3] elementos, [tex3]n[P(U)]=2^n[/tex3] . No entanto, para montarmos [tex3]S[/tex3] , podemos pegar apenas um elemento de cada cardinalidade para que sempre tenhamos [tex3]n(A)\neq n(B)[/tex3] .
Como [tex3]U[/tex3] possui [tex3]n[/tex3] elementos, conseguimos extrair [tex3]{\color{blue}n+1}[/tex3] elementos de [tex3]P(U)[/tex3] com cardinalidades distintas.
[tex3]U=\{1,2,3,4\}[/tex3]
[tex3]\small{P(U)=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\},}[/tex3]
[tex3]\{1,2,3\},\{1,2,4\},\{1,3,4\},\{2,3,4\},\{1,2,3,4\}[/tex3]
Do enunciado,
[tex3]S\subset P(U)[/tex3] e [tex3]S[/tex3] deve ter o maior número possível de elementos, de forma que, dois a dois, pelo menos um seja subconjunto do outro.
Repare que isso irá ocorrer quando você pegar um elemento de cada cardinalidade. Nesse caso:
a) um elemento com zero elementos;
b) um elemento com um elemento;
c) um elemento com dois elementos;
d) um elemento com três elementos;
e) um elemento com quatro elementos.
Não é possível "pegar" mais de um elemento com a mesma cardinalidade, pois eles sempre serão diferentes e, portanto, nenhum estará contido no outro.
E repare que você sempre "pegará" elementos que vão da cardinalidade zero (o conjunto vazio) à cardinalidade [tex3]n[/tex3] (o subconjunto impróprio), o que dará um total de [tex3]n+1[/tex3] elementos.
Exemplos do conjunto [tex3]S[/tex3] :
[tex3]S=\{\emptyset,\{1\},\{1,2\},\{1,2,3\},\{1,2,3,4\}\}[/tex3]
[tex3]S=\{\emptyset,\{1\},\{1,3\},\{1,2,4\},\{1,2,3,4\}\}[/tex3]
[tex3]S=\{\emptyset,\{2\},\{2,4\},\{1,2,3\},\{1,2,3,4\}\}[/tex3]
[tex3]S=\{\emptyset,\{3\},\{2,3\},\{2,3,4\},\{1,2,3,4\}\}[/tex3]
