IME / ITA ⇒ (IME -2013/2014) Geometria Tópico resolvido
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FilipeCaceres 
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Out 2013
28
20:22
(IME -2013/2014) Geometria
Q.10 Sejam [tex3]p[/tex3]
o semiperímetro de um triângulo, [tex3]S[/tex3]
sua área, [tex3]r[/tex3]
e [tex3]R[/tex3]
os raios de suas circunferências inscrita e circunscrita, respectivamente. Demonstre que vale a seguinte desigualdade [tex3]\frac{2\sqrt{3}S}{9}\leq R\cdot r\leq \frac{2p^2}{27}[/tex3]
Última edição: MateusQqMD (Qua 01 Jul, 2020 22:06). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
Razão: tex --> tex3
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FilipeCaceres
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Out 2013
28
20:40
Re: (IME -2013/2014) Geometria
Vou postar uma solução
Seja [tex3]A,B,C[/tex3] os ângulos,
[tex3]\sin A+\sin B+\sin C=\frac{p}{R}[/tex3]
Da desigualdade de Jensen temos,
[tex3]\frac{\sin A +\sin B +\sin C}{3} \leq \sin\left(\frac{A+B+C}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
Assim temos,
[tex3]\frac{p}{R}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{S}{rR}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]\boxed{\frac{2\sqrt{3}S}{9}\leq R r}[/tex3]
Seja [tex3]a,b,c[/tex3] os lados do triângulo e usando [tex3]MA-MG[/tex3] (Média Aritmética e Média Geométrica)
[tex3]\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}[/tex3]
[tex3]\frac{8p^3}{27}\geq abc=4RS=4Rpr[/tex3]
[tex3]\boxed{\frac{2p^2}{27}\geq Rr}[/tex3]
Portanto,
[tex3]\boxed{\boxed{\frac{2\sqrt{3}S}{9}\leq R\cdot r\leq \frac{2p^2}{27}}}[/tex3] . C.Q.D
Seja [tex3]A,B,C[/tex3] os ângulos,
[tex3]\sin A+\sin B+\sin C=\frac{p}{R}[/tex3]
Da desigualdade de Jensen temos,
[tex3]\frac{\sin A +\sin B +\sin C}{3} \leq \sin\left(\frac{A+B+C}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
Assim temos,
[tex3]\frac{p}{R}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{S}{rR}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]\boxed{\frac{2\sqrt{3}S}{9}\leq R r}[/tex3]
Seja [tex3]a,b,c[/tex3] os lados do triângulo e usando [tex3]MA-MG[/tex3] (Média Aritmética e Média Geométrica)
[tex3]\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}[/tex3]
[tex3]\frac{8p^3}{27}\geq abc=4RS=4Rpr[/tex3]
[tex3]\boxed{\frac{2p^2}{27}\geq Rr}[/tex3]
Portanto,
[tex3]\boxed{\boxed{\frac{2\sqrt{3}S}{9}\leq R\cdot r\leq \frac{2p^2}{27}}}[/tex3] . C.Q.D
Última edição: MateusQqMD (Qua 01 Jul, 2020 22:06). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
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Tassandro - Mensagens: 1905
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Jul 2020
01
17:28
Re: (IME -2013/2014) Geometria
Vou apenas provar o lado esquerdo por trigonometria apenas, sem uso da Desigualdade de Jensen.
Inicialmente, perceba que sendo [tex3]α,β,γ[/tex3] os ângulos de um triângulo, vale a seguinte relação (demonstrá-la não é difícil, use Prostapherisis e lembre que [tex3]α+β+γ=180°[/tex3] )
[tex3]\senα+\senβ+\senγ=4\cos\fracα2\cos\fracβ2\cos\fracγ2\tag*{}[/tex3]
Se provarmos que [tex3]\cos\fracα2\cos\fracβ2\cos\fracγ2\leq\frac{3\sqrt3}8[/tex3] , estamos feitos!
Note que
[tex3]\cosα+\cosβ+\cosγ=2\cos\(\frac{α+β}2\)\cos\(\frac{α-β}2\)+\(1-2\sen^2\fracγ2\)=2\sen\fracγ2\cos\(\frac{α-β}2\)+1-2\sen^2\fracγ2\tag*{}[/tex3]
Uma vez que [tex3]\cos\(\frac{α-β}{2}\)\leq1[/tex3] , vale que
[tex3]\cosα+\cosβ+\cosγ\leq2\sen\fracγ2+1-2\sen^2\fracγ2=\frac32-2\(\sen\fracγ2-\frac12\)^2\tag*{}[/tex3]
Uma vez que [tex3]\(\sen\fracγ2-\frac12\)^2\geq0[/tex3] , vale que
[tex3]\cosα+\cosβ+\cosγ\leq\frac32\implies2\(\cos^2\fracα2+\cos^2\fracβ2+\cos^2\fracγ2\)-3\leq\frac32\tag*{}[/tex3]
Eu utilizei nessa última passagem que [tex3]\cos^22x=2\cos^2x-1[/tex3]
Assim, vamos dar uma arrumada no que achamos para obter que
[tex3]\cos^2\fracα2+\cos^2\fracβ2+\cos^2\fracγ2\leq\frac94\tag*{}[/tex3]
Agora, como estamos trabalhando com grandezas positivas, vale desigualdade das médias, logo,
[tex3]\frac{\cos^2\fracα2+\cos^2\fracβ2+\cos^2\fracγ2}3\geq\sqrt[3]{\cos^2\fracα2\cos^2\fracβ2\cos^2\fracγ2}\tag*{}[/tex3]
Usando o que achamos antes, vem que
[tex3]\cos\fracα2\cos\fracβ2\cos\fracγ2\leq\frac{3\sqrt3}8\tag*{}[/tex3] , assim,
[tex3]\senα+\senβ+\senγ=\frac pR\leq\frac{3\sqrt3}2\tag*{}[/tex3]
E assim,
[tex3]\frac{2\sqrt3S}9\leq Rr\tag*{}[/tex3]
Inicialmente, perceba que sendo [tex3]α,β,γ[/tex3] os ângulos de um triângulo, vale a seguinte relação (demonstrá-la não é difícil, use Prostapherisis e lembre que [tex3]α+β+γ=180°[/tex3] )
[tex3]\senα+\senβ+\senγ=4\cos\fracα2\cos\fracβ2\cos\fracγ2\tag*{}[/tex3]
Se provarmos que [tex3]\cos\fracα2\cos\fracβ2\cos\fracγ2\leq\frac{3\sqrt3}8[/tex3] , estamos feitos!
Note que
[tex3]\cosα+\cosβ+\cosγ=2\cos\(\frac{α+β}2\)\cos\(\frac{α-β}2\)+\(1-2\sen^2\fracγ2\)=2\sen\fracγ2\cos\(\frac{α-β}2\)+1-2\sen^2\fracγ2\tag*{}[/tex3]
Uma vez que [tex3]\cos\(\frac{α-β}{2}\)\leq1[/tex3] , vale que
[tex3]\cosα+\cosβ+\cosγ\leq2\sen\fracγ2+1-2\sen^2\fracγ2=\frac32-2\(\sen\fracγ2-\frac12\)^2\tag*{}[/tex3]
Uma vez que [tex3]\(\sen\fracγ2-\frac12\)^2\geq0[/tex3] , vale que
[tex3]\cosα+\cosβ+\cosγ\leq\frac32\implies2\(\cos^2\fracα2+\cos^2\fracβ2+\cos^2\fracγ2\)-3\leq\frac32\tag*{}[/tex3]
Eu utilizei nessa última passagem que [tex3]\cos^22x=2\cos^2x-1[/tex3]
Assim, vamos dar uma arrumada no que achamos para obter que
[tex3]\cos^2\fracα2+\cos^2\fracβ2+\cos^2\fracγ2\leq\frac94\tag*{}[/tex3]
Agora, como estamos trabalhando com grandezas positivas, vale desigualdade das médias, logo,
[tex3]\frac{\cos^2\fracα2+\cos^2\fracβ2+\cos^2\fracγ2}3\geq\sqrt[3]{\cos^2\fracα2\cos^2\fracβ2\cos^2\fracγ2}\tag*{}[/tex3]
Usando o que achamos antes, vem que
[tex3]\cos\fracα2\cos\fracβ2\cos\fracγ2\leq\frac{3\sqrt3}8\tag*{}[/tex3] , assim,
[tex3]\senα+\senβ+\senγ=\frac pR\leq\frac{3\sqrt3}2\tag*{}[/tex3]
E assim,
[tex3]\frac{2\sqrt3S}9\leq Rr\tag*{}[/tex3]
Dias de luta, dias de glória.
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