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(ITA - 1971) Geometria Plana e PA de 2ª Ordem
Enviado: Sex 07 Mar, 2008 13:47
por mvgcsdf
Qual é o maior número de partes em que um plano pode ser dividido por [tex3]n[/tex3]
linhas retas?
a) [tex3]n^2[/tex3]
b) [tex3]n(n + 1)[/tex3]
c) [tex3]\frac{n(n + 1)}{2}[/tex3]
d) [tex3](n^2+n+1)/2[/tex3]
e) n.r.a.
Re: (ITA - 1971) Geometria Plana e PA de 2ª Ordem
Enviado: Sex 07 Mar, 2008 19:23
por marco_sx
Olá mvgcsdf!
O segredo dessa questão é perceber que se queremos dividir o plano no maior número de partes possíveis devemos sempre que formos traçar uma reta no plano interceptar com esta todas as outras que já estavam no plano. Isso é fácil de visualizar fazendo com casos pequenos, por exemplo traçamos a 1ª reta e dividimos o plano em dois; se traçarmos uma reta paralela à primeira teremos um plano dividido em 3 partes agora se traçarmos uma reta concorrente à 1ª teremos 4 partes.
Se você seguir esse raciocínio você deverá chegar no seguinte resultado:
1ª reta : 2 partes
2ª reta : 4 partes
3ª reta : 7 partes
4ª reta : 11 partes
5ª reta : 16 partes
...
Perceba então que o número de partes está formando uma PA de 2ª ordem.
[tex3]a_1=2[/tex3]
[tex3]a_2-a_1=2[/tex3]
(1)
[tex3]a_3-a_2=3[/tex3]
(2)
[tex3]a_4-a_3=4[/tex3]
(3)
...
[tex3]a_n-a_{n-1}=n[/tex3]
(n-1)
Fazendo (1)+(2)+(3)+...+(n-1): [tex3]a_n-a_1=2+3+4+...+n=\frac{(n+2)(n-1)}{2}=\frac{n^2+n-2}{2} \Rightarrow a_n=\frac{n^2+n+2}{2}[/tex3]
Onde [tex3]a_n[/tex3]
é o número de partes na qual o plano fica dividido após traçarmos as n retas.
Falow!
Re: (ITA - 1971) Geometria Plana e PA de 2ª Ordem
Enviado: Seg 10 Mar, 2008 12:31
por mvgcsdf
Grande Marco!!
Resolução sua está sensacional!!
Muito obrigado pela ajuda!!
Abração!!