Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).
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Venésse
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Mensagem não lida por Venésse » 03 Mar 2008, 19:51
Mensagem não lida
por Venésse » 03 Mar 2008, 19:51
Seja [tex3]P_n[/tex3]
um polígono regular de [tex3]n[/tex3]
lados, com [tex3]n>2.[/tex3]
Denote por [tex3]a_n[/tex3]
o apótema e por [tex3]b_n[/tex3]
o comprimento de um lado de [tex3]P_n.[/tex3]
O valor de [tex3]n[/tex3]
para o qual valem as desigualdades
[tex3]b_n \leq a_n[/tex3]
e [tex3]b_{n-1} > a_{n-1},[/tex3]
pertence ao intervalo.
a) [tex3]3<n<7.[/tex3]
b) [tex3]6<n<9.[/tex3]
c) [tex3]8<n<11.[/tex3]
d) [tex3]10<n<13.[/tex3]
e) [tex3]12<n<15.[/tex3]
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caju em 10 Mar 2022, 16:00, em um total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
Venesse A. C. Ramos
Venésse
fabit
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Mensagem não lida por fabit » 03 Mar 2008, 22:16
Mensagem não lida
por fabit » 03 Mar 2008, 22:16
Por construção, é isósceles o triângulo formado por um lado e os raios que chegam do centro às extremidades desse lado. Para [tex3]P_n,[/tex3]
a base desse triângulo é [tex3]b_n[/tex3]
e a altura é [tex3]a_n.[/tex3]
Coloquemos esses dois parâmetros em função do raio [tex3]R[/tex3]
e de [tex3]n.[/tex3]
Angulo central:
[tex3]\theta=\frac{2\pi}{n}\Rightarrow \begin{cases}\sin{\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{b_n/2}{R}\Rightarrow b_n=2R\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}\\\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{a_n}{R}\Rightarrow a_n=R\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) \end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{array}{rl} b_n \leq a_n &\Rightarrow 2\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \leq \cos \left(\frac{\pi}{n}\right) \\
& \Rightarrow \tan \left(\frac{\pi}{n}\right) \leq \frac{1}{2}\\
& \Rightarrow \frac{\pi}{n} \leq \arctan \frac{1}{2} \\
& \Rightarrow n \geq \frac{\pi}{\arctan \frac{1}{2}}
\end{array}[/tex3]
[tex3]\begin{array}{rl} b_{n-1}>a_{n-1} &\Rightarrow 2\sin\left(\frac{\pi}{n-1}\right) > \cos \left(\frac{\pi}{n-1}\right)\\
&\Rightarrow \tan \left(\frac{\pi}{n-1}\right) > \frac{1}{2} \\
&\Rightarrow \frac{\pi}{n-1}> \arctan \frac{1}{2} \\
& \Rightarrow n-1< \frac{\pi}{\arctan \frac{1}{2}}\\
& \Rightarrow n < \frac{\pi}{\arctan \frac{1}{2}}+1
\end{array}[/tex3]
Logo
[tex3]\frac{\pi}{\arctan\frac{1}{2}} \leq n< \frac{\pi}{\arctan \frac{1}{2}}+1,[/tex3]
isto é,
[tex3]n\in\left[\frac{\pi}{\arctan \frac{1}{2}};\text{ }\frac{\pi}{\arctan \frac{1}{2}}+1\right).[/tex3]
Através de uma calculadora científica,
[tex3]\frac{\pi}{\arctan{\frac{1}{2}}} \approx 6,776 \Rightarrow 6,7 \leq n < 7,7 \Rightarrow n=7.[/tex3]
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Razão: tex --> tex3
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fabit
fabit
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Mensagem não lida por fabit » 04 Mar 2008, 10:46
Mensagem não lida
por fabit » 04 Mar 2008, 10:46
Achei outra forma de fazer. Essa dispensa a
calculeta .
[tex3]a_n = R \cos \left( \frac{\pi}{n} \right)[/tex3]
e [tex3]b_n = R \sqrt{ 2 - 2 \cos \left( \frac{2\pi}{n} \right)}[/tex3]
(por lei dos cossenos).
[tex3]\begin{array}{rl} a_n > b_n &\Rightarrow \cos\left(\frac{\pi}{n}\right) > \sqrt{2 - 2\cos \left( \frac{2\pi}{n} \right)}\\
&\Rightarrow \cos^2 \left(\frac{\pi}{n}\right) > 2 - 2 \cos \(\frac{2\pi}{n}\) \\
&\Rightarrow \frac{1+\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)}{2} > 2 - 2 \cos \left(\frac{2\pi}{n}\right) \\
&\Rightarrow 1 + \cos \left(\frac{2\pi}{n}\right) > 4 - 4 \cos \left(\frac{2\pi}{n}\right).
\end{array}[/tex3]
Logo
[tex3]5\cos \left(\frac{2\pi}{n}\right) > 3 \Rightarrow \cos \left(\frac{2\pi}{n}\right) > \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{2\cancel{\pi}}{n} < \frac{ \cancel{\pi}}{3} \Rightarrow 3 < \frac{n}{2}\Rightarrow 6<n.[/tex3]
Então [tex3]n=7.[/tex3]
Boa questão!
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Razão: tex --> tex3
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Ornitorrindo
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Mensagem não lida por Ornitorrindo » 10 Mar 2022, 15:38
Mensagem não lida
por Ornitorrindo » 10 Mar 2022, 15:38
Ainda tenho uma dúvida nessa questão, apesar do intervalo de 14 anos haha. Como você concluiu essa parte:
2pi/n < pi/3
Não entendi como chegou nessa conclusão, agradeço desde já.
Ornitorrindo
fabit
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Mensagem não lida por fabit » 10 Mar 2022, 15:54
Mensagem não lida
por fabit » 10 Mar 2022, 15:54
Faz muito tempo (postagem de 2008). Perdão pela falta de clareza.
É que o 3/5 está "entre" as duas coisas que me interessa comparar. Vou escrever em decimal...
[tex3]\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)>0,6>0,5=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\Rightarrow\frac{2\pi}{n}<\frac{\pi}{3}\ldots etc[/tex3]
SAUDAÇÕES RUBRONEGRAS HEXACAMPEÃS !!!!!!!!!!!
fabit
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(ITA - 1992) Polígonos Regulares
Respostas: 1
Primeira Postagem
A razão entre as áreas de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência e de um hexágono regular, cujo apótema mede 10 cm, circunscrito a está mesma circunferência é:
(A) 1/2
(B) 1
(C) 1/3...
Última mensagem
a area do hexagono sera
6.\frac{10.10}{2.cos(30^o)}=200\sqrt{3}
ja a area do triangulo sera
6.\frac{10cos(30^o).10.sen(30^o)}{2}=75\sqrt3
\frac{75\sqrt3}{200\sqrt3}=\frac{3}{8}
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Última mensagem por jedi
27 Out 2014, 22:54
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Polígonos regulares
Respostas: 1
Primeira Postagem
Calcule a medida da diagonal de um quadrado, cujo a apótema do mesmo mede 14 \sqrt{2} cm.
Última mensagem
Apótema é a distância do centro do polígono ao ponto médio de um de seus lados. No caso do quadrado o apótema é igual a metade do tamanho do lado.
Assim, o lado do quadrado é duas vezes a apótema, ou...
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Última mensagem por Caique
11 Out 2014, 23:35
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Polígonos regulares
Respostas: 1
Primeira Postagem
Calcule a medida do lado do quadrado inscrito em uma circunferência, sabendo a medida do lado do quadrado circunscrito a essa circunferência é de 26 cm.
Última mensagem
Observe a imagem acima, perceba que a diagonal do quadrado menor (inscrito) é igual ao lado do quadrado maior (circunscrito).
Assim, para achar o lado do quadrado menor, basta usar o teorema de...
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Última mensagem por Caique
12 Out 2014, 00:46
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Polígonos regulares
Respostas: 1
Primeira Postagem
Determine qual é o polígono regular cujo o ângulo interno é o triplo do ângulo externo.
Última mensagem
Temos que:
\begin{cases}
A_i = 3A_e \\
A_e + A_i = 180^o
\end{cases}\\\\
\\
Substituindo\ (I)\ em\ (II),\ temos:\\\\
A_e + 3A_e = 180^o\\
A_e = \frac{180^o}{4}\\
Ae = 45^o
Como o angulo externo...
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Última mensagem por Caique
12 Out 2014, 00:29
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Polígonos regulares
Respostas: 1
Primeira Postagem
Determine a área de um quadrado inscrito numa circunferência de raio 8 cm.
Última mensagem
Veja a imagem acima e perceba que o raio da circunferencia é igual a metade da diagonal do quadrado inscrito. Assim, se a circunferencia tem raio 8, o quadrado tem diagonal 16.
Sabendo que a...
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Última mensagem por Caique
12 Out 2014, 00:05