IME / ITA ⇒ Geometria Plana: Segmentos Tangentes Tópico resolvido

[mvgcsdf]

Traçam-se, por um mesmo ponto, duas tangentes a uma circunferência, formando um ângulo de 90°. Por um ponto do menor arco determinado por essas tangentes, traçam-se perpendiculares a essas tangentes medindo 1 cm e 2 cm. O raio dessa circunferência, em cm, mede:
a) 5
b) 3
c) [tex3]sqrt{5}[/tex3]

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[tex3]sqrt{5}[/tex3]

d) [tex3]sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]sqrt{3}[/tex3]

e) [tex3]sqrt{1,5}[/tex3]

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[tex3]sqrt{1,5}[/tex3]

[fabit]

Rapidamente perceberá que se forma um quadrado OMPN de lado [tex3]r[/tex3]

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[tex3]r[/tex3]

unindo o centro do círculo (O), os pontos de tangência (M e N) e o ponto P de onde essas tangentes (PM e PN) foram traçadas.

Seja Q o ponto de onde saíram as perpendiculares às tangentes, que medem 1 e 2. Baixando de Q uma perpendicular a PM, forma-se um triângulo retângulo de hipotenusa [tex3]r[/tex3]

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[tex3]r[/tex3]

, e catetos [tex3]r-1[/tex3]

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[tex3]r-1[/tex3]

e [tex3]r-2[/tex3]

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[tex3]r-2[/tex3]

.

[tex3]r^2=(r-1)^2+(r-2)^2\Rightarrow\cancel{r^2}=\cancel{r^2}-2r+1+r^2-4r+4\Rightarrow0=r^2-6r+5\Rightarrow(r-1)(r-5)=0[/tex3]

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[tex3]r^2=(r-1)^2+(r-2)^2\Rightarrow\cancel{r^2}=\cancel{r^2}-2r+1+r^2-4r+4\Rightarrow0=r^2-6r+5\Rightarrow(r-1)(r-5)=0[/tex3]

A equação admite r=1 ou r=5, mas r=1 não pode porque [tex3]r-2[/tex3]

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[tex3]r-2[/tex3]

é um dos catetos e fica incompatível com a figura. Logo r=5.

Letra A

Abraço

[mvgcsdf]

Certa resposta!!!
Muitíssimo agradecido mais uma vez.
Abração!!!