IME / ITA ⇒ Demonstração: Desigualdade Tópico resolvido

[jpmcamelo]

Não sei nem pode onde começar...

[tex3]c^2=a^2-ab+b^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]c^2=a^2-ab+b^2[/tex3]

.
Prove que [tex3](a - c).(b - c)\leq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a - c).(b - c)\leq 0[/tex3]

Se alguém se dispor...
Muito obrigado.

[fabit]

Pus no Excel um teste com a=-3, b=4 e aí (a-c)(b-c) deu positivo com os dois valores possíveis de c: [tex3]\pm\sqrt{37}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pm\sqrt{37}[/tex3]

.

Acho que ficou faltando dizer no enunciado que a, b e c são não negativos.

Com isso, aí sim...

[tex3](a-c)(b-c)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a-c)(b-c)[/tex3]

[tex3]ab-ac-bc+c^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ab-ac-bc+c^2[/tex3]

[tex3]\cancel{ab}-c(a+b)+a^2-\cancel{ab}+b^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cancel{ab}-c(a+b)+a^2-\cancel{ab}+b^2[/tex3]

[tex3]a^2+b^2-(a+b)\sqrt{a^2+b^2-ab}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2+b^2-(a+b)\sqrt{a^2+b^2-ab}[/tex3]

[tex3]a^2+b^2-\sqrt{(a+b)^2(a^2+b^2-ab)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2+b^2-\sqrt{(a+b)^2(a^2+b^2-ab)}[/tex3]

.


[tex3](a-c)(b-c)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a-c)(b-c)[/tex3]

[tex3]a^2+b^2-\sqrt{(a^2+b^2+2ab)(a^2+b^2-ab)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2+b^2-\sqrt{(a^2+b^2+2ab)(a^2+b^2-ab)}[/tex3]

[tex3]a^2+b^2-\sqrt{a^4+b^4+a^3b+ab^3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2+b^2-\sqrt{a^4+b^4+a^3b+ab^3}[/tex3]

[tex3]a^2+b^2-\sqrt{a^4+b^4+ab(a^2+b^2)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2+b^2-\sqrt{a^4+b^4+ab(a^2+b^2)}[/tex3]

Racionalizando o numerador, isto é, multiplicando e dividindo pela expressão (necessariamente não negativa) [tex3]E=a^2+b^2+\sqrt{a^4+b^4+ab(a^2+b^2)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]E=a^2+b^2+\sqrt{a^4+b^4+ab(a^2+b^2)}[/tex3]

, temos

[tex3]\frac{(a^2+b^2)^2-(a^4+b^4+ab(a^2+b^2))}{a^2+b^2+\sqrt{a^4+b^4+ab(a^2+b^2)}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(a^2+b^2)^2-(a^4+b^4+ab(a^2+b^2))}{a^2+b^2+\sqrt{a^4+b^4+ab(a^2+b^2)}}[/tex3]

[tex3]\frac{\cancel{a^4}+\cancel{b^4}+2a^2b^2-\cancel{a^4}-\cancel{b^4}-ab(a^2+b^2)}{E}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\cancel{a^4}+\cancel{b^4}+2a^2b^2-\cancel{a^4}-\cancel{b^4}-ab(a^2+b^2)}{E}[/tex3]

[tex3]\frac{-ab(a^2+b^2-2ab)}{E}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{-ab(a^2+b^2-2ab)}{E}[/tex3]

[tex3]{-}\frac{ab(a-b)^2}{E}\leq0;\forall a,b\geq0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{-}\frac{ab(a-b)^2}{E}\leq0;\forall a,b\geq0[/tex3]

CQD!!!

Abraço

[jpmcamelo]

Sou um idiota mesmo..desculpa irmão..brigadão vlw...
lá tah dizendo mesmo...a, b e c positivos...

Grande Abraço.