IME / ITA ⇒ Máximos e Mínimos: Cone Inscrito em uma Esfera Tópico resolvido

[mvgcsdf]

O volume do cone de revolução de volume máximo que pode ser inscrito em uma esfera de raio R é:
Resposta: 32 [tex3]\pi r^3[/tex3]

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[tex3]\pi r^3[/tex3]

/81

[fabit]

Vou tentar...

Seja [tex3]h[/tex3]

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[tex3]h[/tex3]

a altura do cone. Fazendo um corte reto para vizualizar a firgura, vemos que a seção reta é um triângulo isósceles inscrito em um círculo de raio [tex3]R[/tex3]

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[tex3]R[/tex3]

. A altura relativa à base (que é a altura do cone e está contida no diâmetro da esfera determina na base o raio [tex3]r[/tex3]

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[tex3]r[/tex3]

. Abaixo da base (fora do cone) fica o restante do diâmetro: [tex3]2R-h[/tex3]

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[tex3]2R-h[/tex3]

. Pela fórmula "[tex3]h^2=mn[/tex3]

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[tex3]h^2=mn[/tex3]

" (relação métrica em triângulos retângulos) temos

[tex3]r^2=h\(2R-h\)[/tex3]

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[tex3]r^2=h\(2R-h\)[/tex3]

portanto [tex3]V(h)=\frac{1}{3}\pi h\(2R-h\)h=\frac{\pi}{3}\(2Rh^2-h^3\)[/tex3]

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[tex3]V(h)=\frac{1}{3}\pi h\(2R-h\)h=\frac{\pi}{3}\(2Rh^2-h^3\)[/tex3]

Seus pontos críticos são quando h=0 (volume mínimo V(0)=0) e [tex3]h_{MAX}=\frac{4R}{3}[/tex3]

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[tex3]h_{MAX}=\frac{4R}{3}[/tex3]

[tex3]V(\frac{4R}{3})=\frac{\pi}{3}\(2R\frac{16R^2}{9}-\frac{64R^3}{27}\)=\frac{\pi R^3}{81}\(96-64\)=\frac{32\pi R^3}{81}[/tex3]

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[tex3]V(\frac{4R}{3})=\frac{\pi}{3}\(2R\frac{16R^2}{9}-\frac{64R^3}{27}\)=\frac{\pi R^3}{81}\(96-64\)=\frac{32\pi R^3}{81}[/tex3]

Abraço

[mvgcsdf]

Valeu, Fabit.
Muito obrigado pela força!!
Abração!!