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Mensagem não lidapor **mvgcsdf** » Qui 14 Fev, 2008 18:31

O valor da soma das raízes comuns às equações [tex3]x^{4}-7x^{3}+16x^{2} - 15x + 3 = 0[/tex3] e [tex3]x^{4}-3x^{3}-x^{2} - 7x + 2 = 0[/tex3] é
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 0

Olá mvgcsdf!

Bom veja o seguinte raciocínio:
A(x) e B(x) são dois polinômios quaisquer. Vamos dividir A(x) por B(x).

[tex3]A(x)=B(x).Q(x)+R(x)[/tex3]

Agora, dividiremos B(x) por R(x).

[tex3]B(x)=R(x).Q_1(x)+R_1(x)[/tex3]

Em seguida dividimos R(x) por [tex3]R_1(x)[/tex3] , e assim sucessivamente até que o resto tenha grau zero.

[tex3]R_{i-2}(x)=R_{i-1}(x).Q_i(x)+R_i(x)[/tex3]
[tex3]R_i(x)[/tex3] possui grau zero.]

Se [tex3]R_i(x)=0[/tex3] podemos escrever [tex3]R_{i-2}(x)[/tex3] em função de [tex3]R_{i-1}(x)[/tex3] . Sendo assim, podemos também escrever [tex3]R_{i-3}(x)[/tex3] em função de [tex3]R_{i-1}(x)[/tex3] .

[tex3]R_{i-3}(x)=R_{i-2}(x).Q_{i-1}(x)+R_{i-1}(x)=R_{i-1}(x).[Q_i(x).Q_{i-1}(x)+1][/tex3]

Podemos repetir o procedimento acima várias vezes até chegar na 1ª equação. Ou seja, podemos escrever A(x) e B(x) em função de [tex3]R_{i-1}(x)[/tex3] , ou melhor, [tex3]R_{i-1}(x)[/tex3] é o MDC entre A(x) e B(x).
Se acharmos o MDC entre os polinômios em consequência achamos o polinômio que possui as raízes comuns entre os polinômios.
Deu pra entender?

Então é só realizar esse procedimento. Depois de fazer três divisões vc chegará em um resto igual a zero e irá concluir que o MDC entre os polinômios é o seguinte:

[tex3]P(x)=\frac{37}{16}x^2-\frac{37}{4}x+\frac{37}{16}[/tex3]

Portanto, a soma das raízes comuns é 4.

Alternativa D

Mensagem não lidapor **mvgcsdf** » Seg 18 Fev, 2008 11:51

Oi, marco_sx! Obrigado pela força!
Neste fim de semana, acabei conseguindo tb resolver esta questão.
Peguei o livro do Iezzi de Números Complexos e Polinômios e fui na parte que vc citou abaixo.
Resolvi e achei esta equação abaixo.
Mas a sua solução está muito melhor e muito didática.
Excelente!!
Obrigado aí pela força.
Abração!!

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