IME / ITA

AlexAndrade20

(ITA) Se P(x) é um polinômio do 5º grau que satisfaz as condições 1=P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5) e P(6)=0, então temos:

a) P(0)=4
b) P(0)=3
c) P(0)=9
d) P(0)=2
e) N.D.A.

Obs: Peço por gentileza que façam a resolução mais detalhada! Grato.

Mensagem não lidapor **poti** » Qui 11 Out, 2012 09:50 · Mensagem não lida por **poti** » Qui 11 Out, 2012 09:50

Dá pra formar um sistema com 5 equações, o que não é muito agradável. Vamos por outro caminho.

Se $P(1) = 1$ , pelo Teorema do Resto, podemos escrever $P(x) = (x-1)Q(x) + 1$ .
Jogando $x = 2$ :

$P(2) = 1 = 1.Q(2) + 1 \to Q(2) = 0$

Jogando $x = 3$ :

$P(3) = 1 = 2.Q(3) + 1 \to Q(3) = 0$

Jogando $x = 4$ :

$P(4) = 1 = 3.Q(4) + 1 \to Q(4) = 0$

Jogando $x = 5$ :

$P(5) = 1 = 4.Q(5) + 1 \to Q(5) = 0$

Achamos quatro raízes do Q(x), que tem grau máximo 4. Bacana, não ?

$Q(x) = a(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$

$P(x) = a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + 1$

Usando P(6):

$P(6) = 0 = a.5! + 1 \to a = -\frac{1}{5!}$

$P(x) = -\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{5!} + 1$

As alternativas pedem P(0):

$P(0) = -\frac{(-1)(-2)(-3)(-4)(-5)}{5!} + 1 = \frac{5!}{5!} + 1 = \boxed{2}$

Letra D

Abraço!

Uma solução "alternativa"

P(x)-1=f(x)

Repare que pra x=1, x=2, ..., x,=5
f(x)=0

Pelo teorema fundamental da álgebra

P(x)-1=a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)

P(6)-1=a*5!
a=-1/5!

P(x)=(-1/5!)*(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+1
P(0)=2

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