IME / ITA(Nivelamento IME/ITA) Geometria Plana Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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Marcos
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(Nivelamento IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Marcos »

Na figura abaixo tem-se [tex3]AD=1\text{ cm}[/tex3] e [tex3]AC=10\text{ cm}[/tex3] . Calcular a medida do segmento [tex3]BD[/tex3] .
Triângulo.gif
Triângulo.gif (2.57 KiB) Exibido 1935 vezes
[tex3]a)[/tex3] [tex3](8+5\sqrt{3}) cm[/tex3]
[tex3]b)[/tex3] [tex3](8-5\sqrt{3}) cm[/tex3]
[tex3]c)[/tex3] [tex3]8 cm[/tex3]
[tex3]d)[/tex3] [tex3]5\sqrt{3} cm[/tex3]
[tex3]e)[/tex3] [tex3](8+3\sqrt{5}) cm[/tex3]

Última edição: Marcos (Ter 13 Mar, 2012 14:32). Total de 1 vez.


''Nunca cruze os braços diante dos obstáculos, pois lembre-se que o maior dos Homens morreu de braços abertos.''

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theblackmamba
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Mar 2012 13 20:56

Re: (Nivelamento IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por theblackmamba »

Seja \hat{B}=\alpha. Logo, \hat{C}=180-90-30-\alpha = 60-\alpha
Triângulo.gif
Triângulo.gif (2.78 KiB) Exibido 1911 vezes
Pelas relações trigonométricas no triângulo retângulo:

tg(60-\alpha) = \frac{BD}{11}
BD=11 \cdot tg(60-\alpha)

tg\alpha = \frac{1}{BD}
BD = \frac{1}{tg\alpha}

\frac{1}{tg\alpha} = 11 \cdot \frac{tg60-tg\alpha}{1 + tg60 \cdot tg\alpha}

tg\alpha = k

\frac{1}{k} = 11 \cdot \frac{\sqrt{3} - k}{1 + k\sqrt{3}}
1 + k\sqrt{3} = 11k \sqrt{3} - 11k^2
11k^2 - 10k\sqrt{3} + 1 = 0

Resolvendo...

k = \frac{5 \sqrt{3}\pm8}{11}.

Para tg\alpha = \frac{8 + \sqrt{3}}{11}
BD = \frac{1}{ \frac{8+5 \sqrt{3}}{11}}
BD = \frac{11}{8 + 5 \sqrt{3}}
BD = \frac{11(8 - 5 \sqrt{3})}{64-75}
\boxed{BD = (5 \sqrt{3}-8) \,\text{cm}}. Não consta no gabarito.

Para tg\alpha=\frac{5\sqrt{3}+8}{11}
BD = \frac{11}{5\sqrt{3}-8}
BD = \frac{11(8 + \sqrt{3})}{75-64}]
\boxed{BD=(8 + 5 \sqrt{3})\,\text{cm}}. Letra A

Só não consegui entender porque o outro valor não poderia ser considerado.

Grande abraço.

Última edição: theblackmamba (Ter 13 Mar, 2012 20:56). Total de 1 vez.


"A coisa mais incompreensível do universo é que ele é compreensível"
- Albert Einstein

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ALDRIN
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Re: (Nivelamento IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por ALDRIN »

Não pode ser considerado, pois ângulo [tex3]B < C[/tex3] , logo a medida do lado [tex3]BD > DC[/tex3] e com o outro valor não seria possível, pois ficaria [tex3]BD < DC[/tex3] .

Basta atribuir valores ao ângulo [tex3]\alpha[/tex3] que você verá que [tex3]B < C[/tex3] e pela teoria o maior ângulo se opõe ao maior lado.
Última edição: ALDRIN (Ter 13 Mar, 2012 21:36). Total de 1 vez.


"O ângulo inscrito no semicírculo é reto."
Ao descobrir essa verdade Tales fez sacrifício aos deuses.

Hoefer, H., 80.

Auto Excluído (ID:21834)
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Re: (Nivelamento IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:21834) »

Pelas relações trigonométricas no triângulo retângulo:

[tex3]\frac{tg(60-a)}{} = \frac{BD}{11}[/tex3]

Amigo, não entendi o porquê já considerou o segmento DA=1?

Isso facilitou aos montes a questão, estou tentando ela, mas considerei DA=Y, não 1. Poderia me explicar? :D Agradecido
Última edição: Auto Excluído (ID:21834) (Qua 07 Nov, 2018 10:43). Total de 2 vezes.



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z3us
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Re: (Nivelamento IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por z3us »

Realmente, como DC= é 11? Não entendi. :D




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