IME / ITA ⇒ Substituição trigonometrica Tópico resolvido

[RonaldoJr]

Ajuda ai galera = ]

[tex3]3(x+\frac{1}{x})=4(y+\frac{1}{y})=5(z+\frac{1}{z})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3(x+\frac{1}{x})=4(y+\frac{1}{y})=5(z+\frac{1}{z})[/tex3]

[tex3]xy+yz+zx=1[/tex3]

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[tex3]xy+yz+zx=1[/tex3]

[FilipeCaceres]

Façamos a seguinte substituição
[tex3]x =tan \frac{\alpha }{2}[/tex3]

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[tex3]x =tan \frac{\alpha }{2}[/tex3]

[tex3]y =tan \frac{\beta }{2}[/tex3]

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[tex3]y =tan \frac{\beta }{2}[/tex3]

[tex3]z =tan \frac{\gamma }{2}[/tex3]

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[tex3]z =tan \frac{\gamma }{2}[/tex3]

Temos [tex3]\alpha +\beta +\gamma = \pm \pi[/tex3]

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[tex3]\alpha +\beta +\gamma = \pm \pi[/tex3]

e [tex3]\frac{6}{ sin \alpha } = \frac{8}{sin \beta } = \frac{10}{sin \gamma }[/tex3]

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[tex3]\frac{6}{ sin \alpha } = \frac{8}{sin \beta } = \frac{10}{sin \gamma }[/tex3]

Assim, [tex3]\alpha , \beta ,\gamma[/tex3]

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[tex3]\alpha , \beta ,\gamma[/tex3]

são os ângulos de um triângulo 6-8-10 (ou suas contrapartes negativas),

Logo,
[tex3]cos \alpha = \frac{4}{5}[/tex3]

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[tex3]cos \alpha = \frac{4}{5}[/tex3]

o que implica

[tex3]x =tan \frac{\alpha }{2} = \pm \sqrt {\frac{1-cos \alpha }{1+cos \alpha }} = \pm\frac{1}{3}[/tex3]

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[tex3]x =tan \frac{\alpha }{2} = \pm \sqrt {\frac{1-cos \alpha }{1+cos \alpha }} = \pm\frac{1}{3}[/tex3]

[tex3]y=\pm \frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]y=\pm \frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]z=\pm 1[/tex3]

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[tex3]z=\pm 1[/tex3]

Como todas as variáveis devem, obviamente, têm o mesmo sinal, as soluções são:
[tex3]\boxed{(x, y, z) \in \left \{\left ({-\frac{1}{3}},{- \frac{1}{2}},{-1}\right), \left (\frac{1}{3}, \frac{1}{2},1\right) \right \}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{(x, y, z) \in \left \{\left ({-\frac{1}{3}},{- \frac{1}{2}},{-1}\right), \left (\frac{1}{3}, \frac{1}{2},1\right) \right \}}[/tex3]

Abraço.