IME / ITA ⇒ (ITA - 2005) Inequação Trigonométrica Tópico resolvido

[italoemanuell]

*Olá a todos!!

O intervalo [tex3]I \subset \mathbb{R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]I \subset \mathbb{R}[/tex3]

que contém todas as soluções da inequação [tex3]\text{arctg } \frac{1+x}{2} + \text{arctg } \frac{1-x}{2} \geq\frac{\pi}{6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{arctg } \frac{1+x}{2} + \text{arctg } \frac{1-x}{2} \geq\frac{\pi}{6}[/tex3]

é:

a) [tex3][-1,4][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][-1,4][/tex3]

b) [tex3][-3,1][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][-3,1][/tex3]

c) [tex3][-2,3][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][-2,3][/tex3]

d) [tex3][0,5][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][0,5][/tex3]

e) [tex3][4,6][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][4,6][/tex3]

Resposta:

---

C

Agradeço desde já a ajuda de todos...


_________
"Uma verdade matemática não é simples nem complicada por si mesma. É uma verdade. (Emile Lemoine)"

[Diego996]

Vamos à resolução...

A inequação é:
[tex3]\arctan \left( {\frac{{1 + x}}{2}} \right) + \arctan \left( {\frac{{1 - x}}{2}} \right) \ge \frac{\pi }{6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\arctan \left( {\frac{{1 + x}}{2}} \right) + \arctan \left( {\frac{{1 - x}}{2}} \right) \ge \frac{\pi }{6}[/tex3]

Sejam:
[tex3]\arctan \left( {\frac{{1 + x}}{2}} \right) = \alpha \Rightarrow {\rm tg} \alpha = \frac{{1 + x}}{2} \\
\arctan \left( {\frac{{1 - x}}{2}} \right) = \beta \Rightarrow {\rm tg} \beta = \frac{{1 - x}}{2} \\[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\arctan \left( {\frac{{1 + x}}{2}} \right) = \alpha \Rightarrow {\rm tg} \alpha = \frac{{1 + x}}{2} \\
\arctan \left( {\frac{{1 - x}}{2}} \right) = \beta \Rightarrow {\rm tg} \beta = \frac{{1 - x}}{2} \\[/tex3]

Então, na inequação temos:
[tex3]\alpha + \beta \ge \frac{\pi }{6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha + \beta \ge \frac{\pi }{6}[/tex3]

Aplicando a tangente a ambos os membros:

[tex3]{\rm tg} (\alpha + \beta ) \ge {\rm tg} \left( {\frac{\pi }{6}} \right) \\
\frac{{{\rm tg} \alpha + {\rm tg} \beta }}{{1 - {\rm tg} \alpha \cdot {\rm tg} \beta }} \ge \frac{{\sqrt 3 }}{3} \\[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{\rm tg} (\alpha + \beta ) \ge {\rm tg} \left( {\frac{\pi }{6}} \right) \\
\frac{{{\rm tg} \alpha + {\rm tg} \beta }}{{1 - {\rm tg} \alpha \cdot {\rm tg} \beta }} \ge \frac{{\sqrt 3 }}{3} \\[/tex3]

Como [tex3]{\rm tg} \alpha = \frac{{1 + x}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{\rm tg} \alpha = \frac{{1 + x}}{2}[/tex3]

e [tex3]{\rm tg} \beta = \frac{{1 - x}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{\rm tg} \beta = \frac{{1 - x}}{2}[/tex3]

, temos:

[tex3]\frac{{\frac{{1 + x}}{2} + \frac{{1 - x}}{2}}}{{1 - \left( {\frac{{1 + x}}{2}} \right) \cdot \left( {\frac{{1 - x}}{2}} \right)}} \ge \frac{{\sqrt 3 }}{3} \\
\frac{1}{{1 - \frac{{1 - x^2 }}{4}}} \ge \frac{{\sqrt 3 }}{3} \\
\frac{1}{{\frac{{x^2 + 3}}{4}}} \ge \frac{{\sqrt 3 }}{3} \\
\frac{{\sqrt 3 }}{3} \le \frac{4}{{x^2 + 3}} \\
\frac{{\sqrt 3 }}{3} - \frac{4}{{x^2 + 3}} \le 0 \\
\frac{{\sqrt 3 (x^2 + 3) - 12}}{{3(x^2 + 3)}} \le 0 \\[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{{\frac{{1 + x}}{2} + \frac{{1 - x}}{2}}}{{1 - \left( {\frac{{1 + x}}{2}} \right) \cdot \left( {\frac{{1 - x}}{2}} \right)}} \ge \frac{{\sqrt 3 }}{3} \\
\frac{1}{{1 - \frac{{1 - x^2 }}{4}}} \ge \frac{{\sqrt 3 }}{3} \\
\frac{1}{{\frac{{x^2 + 3}}{4}}} \ge \frac{{\sqrt 3 }}{3} \\
\frac{{\sqrt 3 }}{3} \le \frac{4}{{x^2 + 3}} \\
\frac{{\sqrt 3 }}{3} - \frac{4}{{x^2 + 3}} \le 0 \\
\frac{{\sqrt 3 (x^2 + 3) - 12}}{{3(x^2 + 3)}} \le 0 \\[/tex3]

Observemos que [tex3]x^2 + 3 \ge 0[/tex3]

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[tex3]x^2 + 3 \ge 0[/tex3]

para todo x. Logo, basta que tenhamos:

[tex3]\sqrt 3 (x^2 + 3) - 12 \le 0 \\
\sqrt 3 (x^2 + 3) \le 12 \\
x^2 + 3 \le \frac{{12}}{{\sqrt 3 }} \\
x^2 + 3 \le 4\sqrt 3 \\[/tex3]

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[tex3]\sqrt 3 (x^2 + 3) - 12 \le 0 \\
\sqrt 3 (x^2 + 3) \le 12 \\
x^2 + 3 \le \frac{{12}}{{\sqrt 3 }} \\
x^2 + 3 \le 4\sqrt 3 \\[/tex3]

Aproximando [tex3]\sqrt 3[/tex3]

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[tex3]\sqrt 3[/tex3]

, temos:
[tex3]x^2 + 3 \le 4\sqrt 3 \\
x^2 + 3 \le 4 \cdot 1,73 \\
x^2 - 3,92 \le 0 \\[/tex3]

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[tex3]x^2 + 3 \le 4\sqrt 3 \\
x^2 + 3 \le 4 \cdot 1,73 \\
x^2 - 3,92 \le 0 \\[/tex3]

Resolvendo essa inequação, encontramos aproximadamente o seguinte intervalo como resposta:
[tex3]- 1,97 \le x \le 1,97[/tex3]

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[tex3]- 1,97 \le x \le 1,97[/tex3]

A única alternativa que satisfaz este intervalo é a ALTERNATIVA C...

Falow...

[italoemanuell]

Além de ter feito tudo certo,sua solução foi muito boa!!
Vc é professor ou alguma coisa do tipo em Diego...Obrigada mesmo pela solução....

___________
"A Matemática possui uma força maravilhosa capaz de nos fazer compreender muitos mistérios de nossa fé. (SÃO JERÔNIMO)"

[Diego996]

Olá Italo... com relação à sua pergunta, não sou professor rsrsrs... curso o 3° do Ensino Médio... mas pretendo fazer Licenciatura em Matemática...

Sinto-me muito satisfeito que tenha gostado da minha resolução... mas você certamente me verá cometendo muitos erros nesse fórum ainda... rsrsrs...

Se precisar de alguma resolução e eu conseguir resolver... estou às ordens...

Falow...

[ProfLaplace]

Na realidade, a questão possui umas sutilezas a mais. NÃO é sempre verdade que [tex3]x\geq y\Rightarrow \tan(x)\geq\tan(y)[/tex3]

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[tex3]x\geq y\Rightarrow \tan(x)\geq\tan(y)[/tex3]

. É preciso tomar muito cuidado com inequações desse tipo. Por exemplo, [tex3]\pi\geq\pi/6[/tex3]

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[tex3]\pi\geq\pi/6[/tex3]

, mas não é verdade que [tex3]\tan(\pi)\geq\tan(\pi/6)[/tex3]

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[tex3]\tan(\pi)\geq\tan(\pi/6)[/tex3]

.

Voltando ao problema agora: das definições de tangente e arco-tangente, temos que [tex3]-\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2}[/tex3]

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[tex3]-\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2}[/tex3]

e também que [tex3]-\frac{\pi}{2}<\beta<\frac{\pi}{2}[/tex3]

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[tex3]-\frac{\pi}{2}<\beta<\frac{\pi}{2}[/tex3]

. Sendo assim, [tex3]-\pi<\alpha+\beta<\pi[/tex3]

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[tex3]-\pi<\alpha+\beta<\pi[/tex3]

.

Usando a fórmula da soma de arcos para tangente, descobrimos que [tex3]\tan{(\alpha+\beta)}=\frac{4}{3+x^{2}}[/tex3]

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[tex3]\tan{(\alpha+\beta)}=\frac{4}{3+x^{2}}[/tex3]

. Portanto [tex3]\forall x \in \mathbb{R}, \tan{(\alpha+\beta)}>0[/tex3]

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[tex3]\forall x \in \mathbb{R}, \tan{(\alpha+\beta)}>0[/tex3]

.

Se [tex3]\alpha+\beta\geq \frac{\pi}{6}[/tex3]

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[tex3]\alpha+\beta\geq \frac{\pi}{6}[/tex3]

e [tex3]\forall x \in \mathbb{R}, \tan{(\alpha+\beta)}>0[/tex3]

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[tex3]\forall x \in \mathbb{R}, \tan{(\alpha+\beta)}>0[/tex3]

, concluímos que obrigatoriamente [tex3]\frac{\pi}{6}\leq\alpha+\beta<\frac{\pi}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi}{6}\leq\alpha+\beta<\frac{\pi}{2}[/tex3]

. Se [tex3]\frac{\pi}{6}\leq\alpha+\beta<\frac{\pi}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi}{6}\leq\alpha+\beta<\frac{\pi}{2}[/tex3]

, então é certeza que [tex3]\tan{(\alpha+\beta)}\geq \tan{\frac{\pi}{6}}[/tex3]

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[tex3]\tan{(\alpha+\beta)}\geq \tan{\frac{\pi}{6}}[/tex3]

. A partir disso, prosseguimos na linha que o Diego apresentou acima.