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Balanar

Suponhamos que os polinômios [tex3]P(x)[/tex3] , [tex3]Q(x)[/tex3] , [tex3]p(x)[/tex3] e [tex3]q(x)[/tex3] satisfazem as seguintes condições:

[tex3]P(x)\times p(x) + Q(x)\times q(x) = 1[/tex3] para todo [tex3]x[/tex3] complexo [tex3]P(q(1))=0[/tex3] , [tex3]Q(0)=0[/tex3]

Assinale a afirmação correta:

a) [tex3]P(x)[/tex3] é divisível por [tex3]S(x) = x[/tex3]

b) [tex3]P(x)[/tex3] e [tex3]Q(x)[/tex3] não são primos entre si

c) [tex3]Q(p(1))=0[/tex3]

d) [tex3]p(x)[/tex3] não é divisível por [tex3]R(x) = x-1[/tex3]

e) [tex3]p(0)=0[/tex3]

Resposta

Letra "d"

Olá Balamar,

Cara não deixe de usar as ferramentas disponibilizadas pelo fórum.

Vou postar o que eu consegui fazer.

Vamos analisar as alternativas.

a) Falso,
Se [tex3]P(x)[/tex3] é divisível por [tex3]S(x)=x[/tex3]

Então
[tex3]P(0)=0[/tex3]

Logo,
[tex3]p(1)=0[/tex3]

E desta forma temos que [tex3]p(x)[/tex3] é div. por [tex3]x-1[/tex3]

Fazendo [tex3]x=p(1)[/tex3]
[tex3]\underbrace{P(p(1))}_{=0}\cdot p(p(1)) + \underbrace{Q(p(1))}_{Q(0)=0}\cdot q(x) = 1[/tex3]

Assim temos,
[tex3]0=1[/tex3] Absurdo!

b) Não achei explicação

c) Falso, ver solução de (a)

d) Verdadeiro, ver solução de (a). Observe que se for div. chegaremos naquele absurdo.

e) Falso,
[tex3]p(0)=0[/tex3]

Fazendo [tex3]x=p(1)[/tex3]
[tex3]P(p(0))\cdot\underbrace{p(p(0))}_{p(0) = 0} + \underbrace{Q(p(0))}_{Q(0)=0}\cdot q(x) = 1[/tex3]

Assim temos,
[tex3]0=1[/tex3] Absurdo!

Abraço.

Mensagem não lidapor **poti** » Sex 20 Mai, 2011 23:21 · Mensagem não lida por **poti** » Sex 20 Mai, 2011 23:21

Eu estava postando minha solução, mas a do filipecaceres humilhou minhas explicações textuais.

Balanar

Obrigado filipecaceres

Oi poti se quiser postar sua solução será bem vinda!

susumu · Mensagem não lida por **susumu** » Qua 02 Out, 2013 14:16

Teve algum erro no enunciado, porque a resposta está errada.

É fácil verificar que [tex3]P(x)=x-1[/tex3] , [tex3]p(x)=x-1[/tex3] , [tex3]Q(x)=x[/tex3] , [tex3]q(x)=-x+2[/tex3] satisfaz as condições do problema, porém, [tex3]p(x)[/tex3] é divisível por [tex3](x-1)[/tex3] , contrariando a alternativa indicada no gabarito.

As alternativas a, b, e são sempre falsas. As alternativas c, d podem ser verdadeiras ou falsas conforme o caso.
No caso do exemplo dado acima, podemos ver que c é verdadeira e d é falsa.

Mensagem não lidapor **Smasher** » Seg 30 Mai, 2016 09:47

Olá, sei que o post já é antigo mas se alguem puder responder, tenho uma pergunta:

De que forma concluiu que se " P(0)=0 Logo p(1)=0"? Realmente não compreendi essa passagem...

Aliás, para a letra B, se procurar por polinômios primos entre si no Google, há materiais que indicam e demonstram que para a expressão "f(x).p(x)+g(x).q(x)=1" os polinomios f e g são primos entre si, sempre. Só que a maioria de nós provavelmente não encontra isso em um livro didático de Ensimo Médio...

Explicação da letra B.
viewtopic.php?t=24272

O enunciado está errado, aqui está o enunciado correto

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