IME / ITA ⇒ Análise Combinatória: Combinações Simples Tópico resolvido

[italoemanuell]

Olá a todos!!

*Quantos inteiros entre 1 e 1.000.000 têm soma de seus algarismos igual a 13?

Resposta:[tex3]C^5_{18}-6C^5_8[/tex3]

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[tex3]C^5_{18}-6C^5_8[/tex3]

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Agradeço desde já a ajuda de todos!!



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"Com abelhas ou sem abelhas, os problemas interessantes da Matemática têm, para o pesquisador,a doçura do mel.Ary Quintela"

[fabit]

Não é legal quando a resposta vem na forma de combinações, arranjos ou outros bichos, a menos que o número absotulo seja "indigesto" (tipo o número de jogos da Mega-Sena: C60;6=...). Sabemos que a resposta é menor que 1 milhão, então por que não escrever o diabo do número?

Feito o protesto (não contra o colega, mas sim contra a apostila), vou tentar resolver...

Fato 1) a palavra "entre" por convenção exclui os extremos, logo o elemento típico é um número ABCDEF onde os "algarismos" podem ser 0.

Fato 2) A condição de soma 13 implica que A+B+C+D+E+F=13. A grosso modo começamos com um universo de [tex3]C_{18}^5[/tex3]

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[tex3]C_{18}^5[/tex3]

(se não entendeu esse pedaço, pesquise aquele tópico normalmente chamado "número de soluções inteiras" nos livros de combinatória).

Fato 3) O universo inicial considera configurações como A=13 e os outros 0, A=12, B=1, outros 0, etc. Temos de descontar essas impurezas. O total dessas impurezas é que deve dar os tais [tex3]6\times C_8^5[/tex3]

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[tex3]6\times C_8^5[/tex3]

a subtrair (mais um motivo para a resposta não vir nessa forma, pois bitola o raciocínio)

Vejamos com 1 letra valendo 13: como todos os outros automaticamente valem 0, só há 6 casos.

Com uma valendo 12 e outra valendo 1, temos 6x5=30 casos (raciocínio: escolhe sem reposição o que vale 12 e depois o que vale 1).

Com uma letra valendo 11 e outra valendo 2: outros 30 casos.

Com uma letra valendo 11 e outras duas letras valendo 1: [tex3]6\times C_5^2=60[/tex3]

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[tex3]6\times C_5^2=60[/tex3]

Com uma letra valendo 10 e outra valendo 3: 30 casos.
Com uma de 10, uma de 2 e outra de 1: 6x5x4=120 casos.
Com uma de 10 e três de 1: [tex3]6\times C_5^3=60[/tex3]

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[tex3]6\times C_5^3=60[/tex3]

Acabou, pois de 9 pra baixo os algarismos ficam na boa. Contei 6+30+30+60+30+120+60=336 impurezas.

Testando [tex3]6\times C_8^5=6\times\frac{8.7.6}{3.2.1}=8.7.6=56.6=336[/tex3]

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[tex3]6\times C_8^5=6\times\frac{8.7.6}{3.2.1}=8.7.6=56.6=336[/tex3]

Chegar à resposta, graças a Deus, já cheguei. Agora, por questão de coerência, devo dizer quanto dá:

[tex3]C_{18}^5=\frac{18.17.16.15.14}{5.4.3.2.1}=\frac{18.17.16.14}{4.2.1}=18.17.2.14=306.28=8568[/tex3]

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[tex3]C_{18}^5=\frac{18.17.16.15.14}{5.4.3.2.1}=\frac{18.17.16.14}{4.2.1}=18.17.2.14=306.28=8568[/tex3]

Finalmente, 8568-336=8232

Abraço