Ai galera tem um questão muito doida que meu professor disse que só sai por trigonometria, sera que tem outra forma ,s se tiver me explica ai por favor!
a Resposta é:D
IME / ITA ⇒ Geomtria II - Questão 299 Tópico resolvido
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Auto Excluído (ID:276)
- Última visita: 31-12-69
Mar 2011
07
19:36
Re: Geomtria II - Questão 299
Oi, bryan
Vamos utilizar a lei dos cossenos e a fórmula da divisão do ângulo em dois para cosseno.
Primeiro, sabemos que :
[tex3]cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}[/tex3]
[tex3]cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}[/tex3]
[tex3]cos A=\frac{c^2+b^2-a^2}{2bc}[/tex3]
Agora, aplicando a fórmula da divisão de ângulos :
[tex3]cos A/2 = \pm {\sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}[/tex3]
Como o ângulo de um triângulo plano qualquer nunca é maior ou igual a 180 graus, devemos usar a solução positiva, pois o ângulo metade certamente ocupa o primeiro quadrante.
Portanto,
[tex3]cos A/2 = \sqrt{\frac{(b+c)^2 - a^2}{4bc}}[/tex3]
[tex3]cos B/2 = \sqrt{\frac{(a+c)^2 - b^2}{4ac}}[/tex3]
[tex3]cos C/2 = \sqrt{\frac{(b+a)^2 - c^2}{4ab}}[/tex3]
Multiplicando os 3 :
[tex3]\sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc} \cdot \frac{(a+b+c)(a+c-b)}{4ac} \cdot \frac{(a+b+c)(a+b-c)}{4ab}[/tex3]
veja que [tex3]p-a = \frac{(b+c-a)}{2}[/tex3]
e o mesmo se dá com os outros, então :
[tex3]\sqrt{\frac{(a+b+c)}{2} \cdot \frac{(b+c-a)}{2bc} \cdot \frac{(a+b+c)}{2} \cdot \frac{(a+c-b)}{2ac} \cdot \frac{(a+b+c)}{2} \cdot \frac{(a+b-c)}{2ab}[/tex3]
[tex3]\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c) \cdot \frac{p^2}{(abc)^2}}[/tex3]
Vê-se a fórmula de Herão, então chamando a área do triângulo de [tex3]A[/tex3] :
[tex3]\frac{p}{abc} \cdot A[/tex3]
A fórmula para a área do triângulo em função dos lados e do raio do círculo circunscrito a este é
[tex3]A = \frac{abc}{4R}[/tex3]
Então, fazendo a substituição :
[tex3]\frac{p}{abc} \cdot \frac{abc}{4R} = \frac{p}{4R}[/tex3]
letra [tex3]\boxed{\boxed{D}}[/tex3]
Valeu, bryan. Abraço!
Vamos utilizar a lei dos cossenos e a fórmula da divisão do ângulo em dois para cosseno.
Primeiro, sabemos que :
[tex3]cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}[/tex3]
[tex3]cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}[/tex3]
[tex3]cos A=\frac{c^2+b^2-a^2}{2bc}[/tex3]
Agora, aplicando a fórmula da divisão de ângulos :
[tex3]cos A/2 = \pm {\sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}[/tex3]
Como o ângulo de um triângulo plano qualquer nunca é maior ou igual a 180 graus, devemos usar a solução positiva, pois o ângulo metade certamente ocupa o primeiro quadrante.
Portanto,
[tex3]cos A/2 = \sqrt{\frac{(b+c)^2 - a^2}{4bc}}[/tex3]
[tex3]cos B/2 = \sqrt{\frac{(a+c)^2 - b^2}{4ac}}[/tex3]
[tex3]cos C/2 = \sqrt{\frac{(b+a)^2 - c^2}{4ab}}[/tex3]
Multiplicando os 3 :
[tex3]\sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc} \cdot \frac{(a+b+c)(a+c-b)}{4ac} \cdot \frac{(a+b+c)(a+b-c)}{4ab}[/tex3]
veja que [tex3]p-a = \frac{(b+c-a)}{2}[/tex3]
e o mesmo se dá com os outros, então :
[tex3]\sqrt{\frac{(a+b+c)}{2} \cdot \frac{(b+c-a)}{2bc} \cdot \frac{(a+b+c)}{2} \cdot \frac{(a+c-b)}{2ac} \cdot \frac{(a+b+c)}{2} \cdot \frac{(a+b-c)}{2ab}[/tex3]
[tex3]\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c) \cdot \frac{p^2}{(abc)^2}}[/tex3]
Vê-se a fórmula de Herão, então chamando a área do triângulo de [tex3]A[/tex3] :
[tex3]\frac{p}{abc} \cdot A[/tex3]
A fórmula para a área do triângulo em função dos lados e do raio do círculo circunscrito a este é
[tex3]A = \frac{abc}{4R}[/tex3]
Então, fazendo a substituição :
[tex3]\frac{p}{abc} \cdot \frac{abc}{4R} = \frac{p}{4R}[/tex3]
letra [tex3]\boxed{\boxed{D}}[/tex3]
Valeu, bryan. Abraço!
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:276) em 07 Mar 2011, 19:36, em um total de 1 vez.
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ALDRIN
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Mar 2011
09
11:24
Re: Geometria II
"O ângulo inscrito no semicírculo é reto."
Ao descobrir essa verdade Tales fez sacrifício aos deuses.
Hoefer, H., 80.
Ao descobrir essa verdade Tales fez sacrifício aos deuses.
Hoefer, H., 80.
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