IME / ITA

(IME 68/69) Um plano corta um triedro de vértice V e ângulo de faces igual a 60°, resultando um sólido de arestas de comprimento VA=2m, VB=5m e VC=12m. Calcule o volume deste sólido.

resp.: 14,142mÂ³

Olá Carlos Neves,acho que esse link vai te ajudar muito,contem provas tanto do ita como do ime misturadas,muito bom,
http://www.rumoaoita.com/novo/provas.php..
Lá vc tbm encontra essa questão resolvida e muitas outras,abraços...

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" A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os curiosos como, também para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens. (Descartes)"

Obrigado pelo link, mas infelizmente não tem essa questão resolvida. Até tem a prova com esta questão mas é só.

Mensagem não lidapor **caju** » Sex 07 Set, 2007 14:51 · Mensagem não lida por **caju** » Sex 07 Set, 2007 14:51

Olá Carlos e Italoemanuel,

Acredito que a melhor maneira de resolver este exercício é utilizando geometria analítica.

Vejamos como fica a representação do triedro no plano 3D, colocado estrategicamente com origem em [tex3]V[/tex3] e [tex3]VB[/tex3] como sendo um dos eixos:

Imagem

Vamos encontrar as coordenadas do ponto [tex3]C[/tex3] . Pois, sabendo a coordenada [tex3]Z[/tex3] do ponto [tex3]C[/tex3] , saberemos a altura da pirâmide de base triangular [tex3]VAB[/tex3] .

Note que a coordenada [tex3]Y[/tex3] do ponto [tex3]C[/tex3] é a projeção ortogonal de [tex3]VC[/tex3] no eixo [tex3]Y[/tex3] , que pode ser encontrada facilmente pois sabemos que [tex3]VC[/tex3] tem um ângulo de [tex3]60º[/tex3] com o eixo [tex3]Y[/tex3] :

[tex3]Y_C=12\cdot\cos(60^{\circ})[/tex3]

[tex3]Y_C=6[/tex3]

Agora vamos achar [tex3]X_C[/tex3] .

Vamos primeiro projetar [tex3]VC[/tex3] em [tex3]VA[/tex3] , pois sabemos o ângulo entre [tex3]VC[/tex3] e [tex3]VA[/tex3] , e chamar esta projeção ortogonal de [tex3]X_C^{VA}[/tex3] :

[tex3]X_C^{VA}=12\cdot\cos(60^{\circ})[/tex3]

E agora para achar [tex3]X_C[/tex3] devemos projetar [tex3]X_C^{VA}[/tex3] no eixo [tex3]X[/tex3] , pois sabemos o ângulo entre [tex3]VA[/tex3] e o eixo [tex3]X[/tex3] (vale [tex3]90º-60º=30º[/tex3] ):

[tex3]X_C=X_C^{VA}\cdot\cos(30^{\circ})[/tex3]

[tex3]X_C=12\cdot\cos(60^{\circ})\cdot\cos(30^{\circ})[/tex3]

[tex3]X_C=12\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}[/tex3]

Até agora sabemos as coordenadas [tex3]X[/tex3] e [tex3]Y[/tex3] do ponto [tex3]C[/tex3] , mas é a [tex3]Z[/tex3] que nos interessa.
Sabemos que o vetor [tex3]VC[/tex3] tem módulo [tex3]12[/tex3] , vamos então utilizar a fórmula do módulo de um vetor em 3D para encontrar o valor da coordenada [tex3]Z[/tex3] :

[tex3]\sqrt{(3\sqrt{3})^2+6^2+Z^2}=12[/tex3]

[tex3]Z=9[/tex3]

Concluímos, então, que a altura da pirâmide de base [tex3]VAB[/tex3] é [tex3]9[/tex3] .

O volume da pirâmide [tex3]VABC[/tex3] é dada por

[tex3]V=\frac{A_{VAB}\cdot Z_C}{3}=\frac{\frac{5\cdot 2\cdot\sin(60^{\circ})}{2}\cdot 9}{3}=\frac{15\sqrt{3}}{2}=12,99m^3[/tex3]

Ahhh quanto tempo em prof.Caju que o senhor não aparece por aqui no forum,anda meio ocupado ultimamente é?

Abraços........

Muito obrigado prof. Caju. Gostei da solução.
Só uma coisa acho que lá no começo você quis dizer "utilizando geometria analítica".

Mensagem não lidapor **caju** » Sex 07 Set, 2007 22:36 · Mensagem não lida por **caju** » Sex 07 Set, 2007 22:36

Olá carlos_neves,

Com certeza... queria dizer geometria analítica e não espacial! Muito obrigado pelo seu toque! Já fiz a correção e agora está "analítica".

Muito obrigado!

Tiagocbr

Professor Caju,sua solução está errada.Quando você fez a projeção ortogonal do ponto C na reta VA,você alterou a coordenada X do ponto.Na verdade, você pode dizer que a projeção do ponto C sobre o plano VAB está na reta perpendicular à reta VA no ponto correspondente à projeção que você fez.

Mensagem não lidapor **caju** » Sáb 21 Set, 2019 10:04 · Mensagem não lida por **caju** » Sáb 21 Set, 2019 10:04

Olá Tiagocbr,

Você tem razão. Ao fazer a projeção de [tex3]C[/tex3] em [tex3]VA[/tex3] eu não posso calcular o valor de [tex3]x_C[/tex3] .

A resolução correta vem agora:

: 2_triedro_1.jpg (7.74 KiB) Exibido 1551 vezes

Sendo [tex3]C(x_C; y_C; z_C)[/tex3] , a coordenada [tex3]y[/tex3] do ponto [tex3]C[/tex3] continua sendo a projeção ortogonal de [tex3]VC[/tex3] no eixo [tex3]y[/tex3] , que pode ser encontrada facilmente pois sabemos que [tex3]VC[/tex3] tem um ângulo de [tex3]60º[/tex3] com o eixo [tex3]y[/tex3] :

[tex3]y_C=12\cdot\cos(60^{\circ})[/tex3]

[tex3]y_C=6[/tex3]

Assim, temos [tex3]C(x_C;6;z_C)[/tex3] . Aplicando a fórmula da distância de [tex3]C[/tex3] até a origem, que vale [tex3]12[/tex3] , temos:

[tex3]\sqrt{x_C^2+6^2+z_C^2}=12\,\,\rightarrow\,\,\boxed{x_C^2+z_C^2=108}\hspace{30px}\color{red}\textbf{(I)}[/tex3]

Agora temos que achar uma segunda equação contendo [tex3]x_C[/tex3] e [tex3]z_C[/tex3] .

Vamos trabalhar com o ponto [tex3]A[/tex3] agora.

Projetando o ponto [tex3]A[/tex3] no eixo [tex3]x[/tex3] e no eixo [tex3]y[/tex3] , podemos encontrar suas coordenadas:

[tex3]x_A=2\cdot\sen(60º)\,\,\to\,\,\boxed{x_A=\sqrt{3}}[/tex3]

[tex3]y_A=2\cdot\cos(60º)\,\,\to\,\,\boxed{y_A=1}[/tex3]

Portanto, [tex3]A(\sqrt{3};1;0)[/tex3] .

Como temos o ponto [tex3]V[/tex3] na origem, fica fácil trabalhar com os vetores [tex3]\vec{VC}= ( x_C;\,6;\,z_C )[/tex3] e [tex3]\vec{VA}= (\sqrt{3};1;0)[/tex3] , pois sabemos que o ângulo entre eles é [tex3]60º[/tex3] .

Usando a fórmula do ângulo entre dois vetores:

[tex3]\cos(60º)=\frac{\vec{VC}\cdot \vec{VA}}{|\vec{VC}|\cdot|\vec{VA}|}[/tex3]

Sabemos que [tex3]|\vec{VC}|=12[/tex3] e [tex3]|\vec{VA}|=2[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}=\frac{( x_C;\,6;\,z_C )\cdot (\sqrt{3};1;0)}{12\cdot 2}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}x_C+6}{12\cdot 2}\,\,\to\,\,\boxed{x_C=2\sqrt{3}}[/tex3]

Substituindo o valor de [tex3]x_C[/tex3] em [tex3]\color{red}\textbf{(I)}[/tex3] :

[tex3](2\sqrt{3})^2+z_C^2=108\,\,\to\,\,\boxed{z_C=4\sqrt{6}}[/tex3]

Esse valor de [tex3]z_C[/tex3] é exatamente a altura da pirâmide [tex3]VABC[/tex3] . Assim, podemos calcular seu volume:

[tex3]V=\frac{A_{VAB}\cdot z_C}{3}=\frac{\frac{5\cdot 2\cdot\sen(60^{\circ})}{2}\cdot 4\sqrt{6}}{3}=10\sqrt{2}=\boxed{\boxed{14,14m^3}}[/tex3]

Agora sim

Grande abraço,
Prof. Caju

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