IME / ITA

O resto da divisão de [tex3]5^{131} + 7^{131} + 9^{131} + 15^{131}[/tex3] por [tex3]12[/tex3] é igual a:

A) 0
B) 2
C) 7
D) 9
E) 11

Olá, fgarcia_84

Teoria dos Restos:

Proposição:O resto da divisão de uma soma por um número é o mesmo que o da divisão da soma dos restos das parcelas por esse mesmo número.
Exemplo:Qual o resto da divisão da soma [tex3]18 + 27 + 14[/tex3] por [tex3]4[/tex3] ?
Sol::Soma dos restos das parcelas: [tex3]2 + 3 + 2 = 7[/tex3] e [tex3]7[/tex3] deixa resto [tex3]3[/tex3] na divisão por [tex3]4[/tex3] . Portanto, o resto da soma de [tex3]18 + 27 + 14[/tex3] por [tex3]4[/tex3] será [tex3]3[/tex3] .
Com base nisso, temos na questão proposta que:

1º) o resto da divisão da potência [tex3]5^{131}[/tex3] por [tex3]12[/tex3] é?
Para saber qual é o valor desse resto basta calcularmos os restos das quatro (com expoente da potência maior que 1)primeiras potencias por [tex3]12[/tex3] , ou seja:
[tex3]5^2[/tex3] dividido por [tex3]12[/tex3] deixa resto [tex3]1[/tex3] .
[tex3]5^3[/tex3] dividido por [tex3]12[/tex3] deixa resto [tex3]5[/tex3] .
[tex3]5^4[/tex3] dividido por [tex3]12[/tex3] deixa resto [tex3]1[/tex3] .
[tex3]5^5[/tex3] dividido por [tex3]12[/tex3] deixa resto [tex3]5[/tex3] .

Então, conclui-se: se [tex3]5^n[/tex3] dividido por [tex3]12[/tex3] deixa resto [tex3]1[/tex3] , se [tex3]n[/tex3] for par e deixa resto [tex3]5[/tex3] , se [tex3]n[/tex3] for ímpar!!!

Logo, como [tex3]n=131[/tex3] é ímpar, então o resto da divisão da potencia [tex3]5^{131}[/tex3] por [tex3]12[/tex3] é [tex3]5[/tex3] .

2º) o resto da divisão da potência [tex3]7^{131}[/tex3] por [tex3]12[/tex3] é?
De forma análoga a anterior, ou seja, para saber qual é o valor desse resto basta calcularmos os restos das quatro (com expoente da potência maior que [tex3]1[/tex3] )primeiras potencias por [tex3]12[/tex3] , então:
[tex3]7^2[/tex3] dividido por [tex3]12[/tex3] deixa resto [tex3]1[/tex3] .
[tex3]7^3[/tex3] dividido por [tex3]12[/tex3] deixa resto [tex3]7[/tex3] .
[tex3]7^4[/tex3] dividido por [tex3]12[/tex3] deixa resto [tex3]1[/tex3] .
[tex3]7^5[/tex3] dividido por [tex3]12[/tex3] deixa resto [tex3]7[/tex3] .

Então, conclui-se: se [tex3]5^n[/tex3] dividido por [tex3]12[/tex3] deixa resto 1, se n for par e deixa resto [tex3]7[/tex3] , se n for ímpar!!!:idea:
Logo, como [tex3]n=131[/tex3] é ímpar, então o resto da divisão da potência [tex3]5^{131}[/tex3] por 12 é 7.

3º) o resto da divisão da potência [tex3]9^{131}[/tex3] por [tex3]12[/tex3] é?
De forma análoga as anteriores, ou seja, para saber qual é o valor desse resto basta calcularmos os restos das quatro (com expoente da potência maior que [tex3]1[/tex3] ) primeiras potências por [tex3]12[/tex3] , então:
[tex3]9^2[/tex3] dividido por [tex3]12[/tex3] deixa resto [tex3]9[/tex3] .
[tex3]9^3[/tex3] dividido por [tex3]12[/tex3] deixa resto [tex3]9[/tex3] .
[tex3]9^4[/tex3] dividido por [tex3]12[/tex3] deixa resto [tex3]9[/tex3] .
[tex3]9^5[/tex3] dividido por [tex3]12[/tex3] deixa resto [tex3]9[/tex3] .

Então, conclui-se: se [tex3]5^n[/tex3] dividido por [tex3]12[/tex3] deixa resto sempre [tex3]9[/tex3] , para qualquer valor de [tex3]n[/tex3] natural!!!!

Logo, o resto da divisão da potência [tex3]9^{131}[/tex3] por [tex3]12[/tex3] é [tex3]9[/tex3] .

4º)o resto da divisão da potência [tex3]15^{131}[/tex3] por [tex3]12[/tex3] é?
Com base nas anteriores, o valor desse resto basta calcularmos os restos das quatro (com expoente da potência maior que [tex3]1[/tex3] ) primeiras potências por [tex3]12[/tex3] , então:
[tex3]15^2[/tex3] dividido por [tex3]12[/tex3] deixa resto [tex3]0[/tex3] .
[tex3]15^3[/tex3] dividido por [tex3]12[/tex3] deixa resto [tex3]0[/tex3] .
[tex3]15^4[/tex3] dividido por [tex3]12[/tex3] deixa resto [tex3]0[/tex3] .
[tex3]15^5[/tex3] dividido por [tex3]12[/tex3] deixa resto [tex3]0[/tex3] .

Portanto, conclui-se: se [tex3]5^n[/tex3] dividido por [tex3]12[/tex3] deixa resto sempre [tex3]0[/tex3] , para qualquer valor de n natural!!!!

Enfim, a soma dos restos das parcelas: [tex3]5+7+9+0=21[/tex3] e [tex3]21[/tex3] deixa resto [tex3]9[/tex3] na divisão por [tex3]12[/tex3] . Logo, o resto da soma de [tex3]5^{131}+7^{131}+9^{131}+15^{131}[/tex3] por [tex3]12[/tex3] será [tex3]9[/tex3] .
Resposta:D
_______________
"Felizes aqueles que se divertem com problemas que educam a alma e elevam o espírito. (Fenelon)"

[tex3]\,[/tex3]

Mensagem não lidapor **bigjohn** » Seg 02 Jul, 2007 22:58

só corrigindo... [tex3]15^2[/tex3] não deixa resto [tex3]0[/tex3] ao ser dividido por [tex3]12[/tex3] ...

Valeu bigjohn por me alertar sobre os erros cometidos, pois acabei foi postando o rascunho!!! Deixem de lado aquele que eu postei e observe o que segue:

Teoria dos Restos:
Proposição:O resto da divisão de uma soma por um número é o mesmo que o da divisão da soma dos restos das parcelas por esse mesmo número.
Exemplo:Qual o resto da divisão da soma 18+27+14 por 4?
Sol::Soma dos restos das parcelas:2+3+2=7 e 7 deixa resto 3 na divisão por 4. Portanto, o resto da soma de 18+27+17 por 4 será 3.
Com base, temos na questão proposta que:

1º) o resto da divisão da potência [tex3]5^{131}[/tex3] por 12 será:
Para saber qual é o valor desse resto basta calcularmos os restos das quatro primeiras potências(com expoente da potência maior que um):
[tex3]5^2[/tex3] dividido por 12 deixa resto 1.
[tex3]5^3[/tex3] dividido por 12 deixa resto 5.
[tex3]5^4[/tex3] dividido por 12 deixa resto 1.
[tex3]5^5[/tex3] dividido por 12 deixa resto 5.
Então, conclui-se que se [tex3]5^n[/tex3] dividido por 12 deixa resto 1, se for par e deixa resto 5, se n for ímpar. Logo, como n=131 é ímpar, então o resto da divisão da potência [tex3]5^{131}[/tex3] por 12 é 5.

2º) o resto da divisão da potência [tex3]7^{131}[/tex3] por 12 será:
Analogamente como no item anterior, calculemos os restos das quatro primeiras potências(com expoente da potência maior que um):
[tex3]7^2[/tex3] dividido por 12 deixa resto 1.
[tex3]7^3[/tex3] dividido por 12 deixa resto 7.
[tex3]7^4[/tex3] dividido por 12 deixa resto 1.
[tex3]7^5[/tex3] dividido por 12 deixa resto 7.
Então, conclui-se que se [tex3]7^n[/tex3] dividido por 12 deixa resto 1,s e n for par e deixa resto 7, se n for ímpar. Logo, como n=131 é ímpar, então o resto da divisão da potência [tex3]7^{131}[/tex3] por 12 é 7.

3º) o resto da divisão da potência [tex3]9^{131}[/tex3] por 12 será:
Com base nas anteriores, ou seja, calculemos os restos das quatro primeiras potências(com expoente da potência maior que um):
[tex3]9^2[/tex3] dividido por 12 deixa resto 9.
[tex3]9^3[/tex3] dividido por 12 deixa resto 9.
[tex3]9^4[/tex3] dividido por 12 deixa resto 9.
[tex3]9^5[/tex3] dividido por 12 deixa resto 9.
Então, conclui-se que se [tex3]9^n[/tex3] dividido por 12 deixa resto 9, para qualquer n [tex3]\gt[/tex3] 1 e natural. Logo, o resto da divisão da potência [tex3]9^{131}[/tex3] por 12 é 9.

4º) o resto da divisão da potência [tex3]15^{131}[/tex3] por 12 será:
Idem as anteriores, calculemos os restos das quatro primeiras potências(com expoente da potência maior que um):
[tex3]15^2[/tex3] dividido por 12 deixa resto 9.
[tex3]15^3[/tex3] dividido por 12 deixa resto 3.
[tex3]15^4[/tex3] dividido por 12 deixa resto 9.
[tex3]15^5[/tex3] dividido por 12 deixa resto 3.
Então, conclui-se que se [tex3]9^n[/tex3] dividido por 12 deixa resto 9, se n for par e deixa resto 3, se n for ímpar. Logo, como n=131 é ímpar, então o resto da divisão da potência [tex3]15^{131}[/tex3] por 12 é 3.
Enfim, a soma dos restos das parcelas:5+7+9+3=24 e 24 dividido por 12 deixa resto 0 na divisão por 12.
Logo, o resto da soma [tex3]5^{131} + 7^{131} + 9^{131} + 15^{131}[/tex3] por 12 será 0.
Resposta:A

Desculpas por qualquer coisa ,ok?

Fui........
__________________
"Ninguém realmente sabe ensinar se não sabe repetir a lição."

Miih · Mensagem não lida por **Miih** » Seg 18 Abr, 2022 18:51

5^131 + 7^131 + 9^131 + 3^131
O motivo de 15^131 virar 3^131 e que o resto dr 15÷12= 3
5^131 + (-5)^131 + 9^131 + (-9)^131=0
-5 e -9 e o resto por sobra de 12
7-12= 5
3-12=9

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Desculpe pelo erro!!

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