Olimpíadas ⇒ Ortocentro (Hong Kong 2004) Tópico resolvido

[papirador]

Dado um triângulo ABC, tal que os ângulos ABC e ACB medem 80° e 70°, respectivamente e que o lado BC=2. Uma reta perpendicular é traçada desde A até BC, outra reta perpendicular é traçada desde B até AC. As duas retas perpendiculares encontram-se em H. Determine o comprimento de AH.
A)2√2
B)2√3
C)√3
D)(2√3)/3
E)3√3

Resposta

---

B

[petras]

papirador,
Faça a distribuição dos ângulos;

[tex3]\triangle ABE: sen30^o=\frac{1}{2} =\frac{BE}{AB} \implies AB = 2BE\\
cos 30^o =\frac{\sqrt3}{2} = \frac{AE}{AB}\implies AE = \frac{AB\sqrt3}{2}=\frac{2BE\sqrt3}{2} = BE\sqrt3\\
\triangle AHE \sim \triangle BCE \implies \frac{AH}{2}=\frac{AE}{BE} = \frac{\cancel{BE}\sqrt3}{\cancel{BE}} \\
\therefore \boxed{AH = 2\sqrt3} [/tex3]

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[tex3]\triangle ABE: sen30^o=\frac{1}{2} =\frac{BE}{AB} \implies AB = 2BE\\
cos 30^o =\frac{\sqrt3}{2} = \frac{AE}{AB}\implies AE = \frac{AB\sqrt3}{2}=\frac{2BE\sqrt3}{2} = BE\sqrt3\\
\triangle AHE \sim \triangle BCE \implies \frac{AH}{2}=\frac{AE}{BE} = \frac{\cancel{BE}\sqrt3}{\cancel{BE}} \\
\therefore \boxed{AH = 2\sqrt3} [/tex3]