Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Olimpíadas ⇒ Polinômios Tópico resolvido
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Abr 2024
24
15:47
Polinômios
Considere o produtório P(n)= produtorio de k=0 até n(senk°+cosk°) e o polinômio f(x)= sum j=0 até 180 de p(j) × x^j. Qual é o grau de f(x)?
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Mai 2024
05
15:28
Re: Polinômios
Sabendo que [tex3]P(n)=\prod_{k=0}^n (\sen k\degree +\cos k\degree)[/tex3]
[tex3]P(n)=\prod_{k=0}^n \sqrt2(\frac{1}{\sqrt2}\sen k\degree +\frac{1}{\sqrt2}\cos k\degree)[/tex3]
[tex3]P(n)=\prod_{k=0}^n \sqrt2\sen (k\degree +45)[/tex3]
[tex3]P(n)=2^\frac{n}{2}\prod_{k=0}^n sen (k\degree +45)[/tex3]
Com essa forma mais simplificada de exposição, vamos substituir na expressão de [tex3]F(x)[/tex3] .
[tex3]F(x)=\sum_{j=0}^{180}P(j)\cdot x^j[/tex3]
[tex3]F(x)=\sum_{j=0}^{180}\[\(2^\frac{j}{2}\prod_{k=0}^j sen (k\degree +45)\)\cdot x^j\][/tex3]
[tex3]F(x)=\sum_{j=0}^{180}\[\(\prod_{k=0}^j sen (k\degree +45)\)\cdot x^j\cdot2^\frac{j}{2}\][/tex3]
Precisamos nos atentar, agora, para os casos em que o produtório resulta em [tex3]0[/tex3] .
Para o range de [tex3]j[/tex3] de [tex3]0[/tex3] a [tex3]180[/tex3] , isso ocorre apenas quando [tex3]\sen 180\degree[/tex3] .
A função em análise é [tex3]\sen (k\degree +45)[/tex3] . Ou seja, quando [tex3]k=135[/tex3] , todos os elementos posteriores do produtório também serão nulos. Portanto, pode-se dizer que [tex3]k[/tex3] varia de forma não nula até [tex3]k=134[/tex3] .
Daí,
[tex3]F(x)= \[\( sen (45)\)\cdot 1\cdot1\]+\[\( sen (45)\)\cdot\( sen (46)\) x\cdot2^\frac{1}{2}\] +...+\[\( sen (45)\)\cdot ...\cdot \( sen (179)\) x^{134}\cdot2^\frac{134}{2}\]+\underset{0}{\underbrace{\[\( sen (45)\)\cdot ...\cdot \( sen (180)\) x^{134}\cdot2^\frac{134}{2}\]}}+\underset{0}{\underbrace{\sum_{j=136}^{180}\[\(\prod_{k=0}^j sen (k\degree +45)\)\cdot x^j\cdot2^\frac{j}{2}\]}}[/tex3]
Como j varia apenas até 134, pode-se dizer que o polinômio é de grau 134.
, então,[tex3]P(n)=\prod_{k=0}^n \sqrt2(\frac{1}{\sqrt2}\sen k\degree +\frac{1}{\sqrt2}\cos k\degree)[/tex3]
[tex3]P(n)=\prod_{k=0}^n \sqrt2\sen (k\degree +45)[/tex3]
[tex3]P(n)=2^\frac{n}{2}\prod_{k=0}^n sen (k\degree +45)[/tex3]
Com essa forma mais simplificada de exposição, vamos substituir na expressão de [tex3]F(x)[/tex3] .
[tex3]F(x)=\sum_{j=0}^{180}P(j)\cdot x^j[/tex3]
[tex3]F(x)=\sum_{j=0}^{180}\[\(2^\frac{j}{2}\prod_{k=0}^j sen (k\degree +45)\)\cdot x^j\][/tex3]
[tex3]F(x)=\sum_{j=0}^{180}\[\(\prod_{k=0}^j sen (k\degree +45)\)\cdot x^j\cdot2^\frac{j}{2}\][/tex3]
Precisamos nos atentar, agora, para os casos em que o produtório resulta em [tex3]0[/tex3] .
Para o range de [tex3]j[/tex3] de [tex3]0[/tex3] a [tex3]180[/tex3] , isso ocorre apenas quando [tex3]\sen 180\degree[/tex3] .
A função em análise é [tex3]\sen (k\degree +45)[/tex3] . Ou seja, quando [tex3]k=135[/tex3] , todos os elementos posteriores do produtório também serão nulos. Portanto, pode-se dizer que [tex3]k[/tex3] varia de forma não nula até [tex3]k=134[/tex3] .
Daí,
[tex3]F(x)= \[\( sen (45)\)\cdot 1\cdot1\]+\[\( sen (45)\)\cdot\( sen (46)\) x\cdot2^\frac{1}{2}\] +...+\[\( sen (45)\)\cdot ...\cdot \( sen (179)\) x^{134}\cdot2^\frac{134}{2}\]+\underset{0}{\underbrace{\[\( sen (45)\)\cdot ...\cdot \( sen (180)\) x^{134}\cdot2^\frac{134}{2}\]}}+\underset{0}{\underbrace{\sum_{j=136}^{180}\[\(\prod_{k=0}^j sen (k\degree +45)\)\cdot x^j\cdot2^\frac{j}{2}\]}}[/tex3]
Como j varia apenas até 134, pode-se dizer que o polinômio é de grau 134.
Ciclo Básico - IME
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