Demonstre que as coordenadas do circuncentro C de um triângulo A,B e C (não-retângulo) podem ser dadas por
[tex3]C = \frac{A.sen(2\alpha) + B.sen(2\beta) + C.sen(2\gamma)}{sen(2\alpha) + sen(2\beta) + sen(2\gamma)}[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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IME / ITA ⇒ (IME/ITA) Geometria Analítica
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Mai 2024
03
00:18
Re: (IME/ITA) Geometria Analítica
Jpgonçalves, minha solução se fundamenta no fato de que a validade dessa fórmula em um sistema de coordenadas cartesiano implica na validade dela em qualquer outro sistema no mesmo plano. Suponha que ela seja válida em um determinado sistema de coordenadas S. A lei de transformação de um ponto [tex3]i[/tex3]
para um sistema S' é da forma [tex3]x'_{i}=ax_i+by_i+c[/tex3]
e [tex3]y'_{i}=dx_i+ey_i+f.[/tex3]
Sendo O o circuncentro:
[tex3]x_O=\frac{x_a \sin(2\alpha)+x_b \sin(2\beta)+x_c \sin(2\gamma)}{\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)},[/tex3] e analogamente para [tex3]y_O.[/tex3]
Sendo [tex3]x_e'[/tex3] o valor da expressão acima, mas usando os [tex3]x'[/tex3] ao invés dos x:
[tex3]x_e'=\frac{(ax_a+by_a+c)\sin(2\alpha)+(ax_b+by_b+c)\sin(2\beta)+(ax_c+by_c+c)\sin(2\gamma)}{\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)}=\frac{a(x_a \sin(2\alpha)+x_b \sin(2\beta)+x_c \sin(2\gamma))+b(y_a \sin(2\alpha)+y_b \sin(2\beta)+y_c \sin(2\gamma))+c(\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma))}{\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)}=ax_O+by_O+c=x_O'.[/tex3]
Então [tex3]x_e'= x_O',[/tex3] e analogamente para [tex3]y_O'.[/tex3] Então de fato a validade da fórmula independe do sistema de coordenadas escolhido (isso é um caso particular do fato de que equações puramente tensoriais independem do sistema de referência usado para representar os tensores).
Por isso, vou escolher o seguinte sistema de coordenadas (x, y) bastante conveniente:
Temos [tex3]x_O=R \cos(90 \degree -\gamma)=R \sin(\gamma), \; \; \; y_O=R \sin(90 \degree - \gamma)=R \cos(\gamma).[/tex3]
[tex3]A=(0, \; 0), \; \; B=(b, \; 0), \; \; C=(b \cos(\alpha), \; b\sin(\alpha)). [/tex3]
Vamos calcular então [tex3]y_e=\frac{y_a \sin(2\alpha)+y_b \sin(2\beta)+y_c \sin(2\gamma)}{\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)}=\frac{b \sin(\alpha) \sin(2\gamma)}{\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)}.[/tex3] (1)
Pela lei extendida dos senos, [tex3]b=2R \sin(\beta).[/tex3] Além disso, somando as áreas dos 3 triângulos isósceles com vértice no ponto O, temos [tex3]\frac{R^2(\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma))}{2}=S \Longrightarrow \sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)=\frac{2S}{R^2},[/tex3] sendo S a área do triângulo ABC.
Ademais, podemos usar a fórmula [tex3]S=\frac{abc}{4R},[/tex3] de onde obtemos então [tex3]\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)=\frac{abc}{2R^3}.[/tex3]
Inserindo esses resultados na equação (1): [tex3]y_e=\frac{4R^4 \sin(\beta) \sin(2\gamma)\sin(\alpha)}{abc}.[/tex3]
Usando [tex3]\frac{\sin(\alpha)}{a}=\frac{\sin(\beta)}{b}=\frac{2}{R}:[/tex3]
[tex3]y_e=\frac{R^2 \sin(2\gamma)}{c}=\frac{R^2 \cdot 2 \sin(\gamma)\cos(\gamma)}{c}=2R^2 \cdot \frac{1}{2R} \cdot \cos(\gamma)=R \cos(\gamma).[/tex3]
Então [tex3]y_e=y_O.[/tex3] Agora só falta fazer a conta para x, que é um pouco mais difícil.
[tex3]x_e=\frac{x_a \sin(2\alpha)+x_b \sin(2\beta)+x_c \sin(2\gamma)}{\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)}=\frac{4R^4(\sin(\gamma)\sin(2\beta)+\sin(\beta)\cos(\alpha)\sin(2\gamma))}{8R^3\sin(\alpha)\sin(\beta)\sin(\gamma)}.[/tex3]
Usando [tex3]\sin(2\beta)=2\sin(\beta) \cos(\beta)[/tex3] e a mesma identidade para [tex3]\sin(2\gamma):[/tex3]
[tex3]x_e=\frac{R(\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cos(\gamma))}{\sin(\alpha)}.[/tex3]
Ademais, [tex3]\cos(\alpha+ \gamma)=\cos(\alpha) \cos(\gamma)-\sin(\alpha) \sin(\gamma).[/tex3]
Mas [tex3]\cos(\alpha+\gamma)=\cos(\pi - \beta)=-\cos(\beta),[/tex3] então [tex3]\cos(\alpha) \cos(\gamma)=\sin(\alpha)\sin(\gamma)-\cos(\beta),[/tex3] daí:
[tex3]x_e=\frac{R \sin(\alpha) \sin(\gamma)}{\sin(\alpha)}=R \sin(\gamma).[/tex3] Então [tex3]x_e=x_O[/tex3] e a fórmula está demonstrada.
Sendo O o circuncentro:
[tex3]x_O=\frac{x_a \sin(2\alpha)+x_b \sin(2\beta)+x_c \sin(2\gamma)}{\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)},[/tex3] e analogamente para [tex3]y_O.[/tex3]
Sendo [tex3]x_e'[/tex3] o valor da expressão acima, mas usando os [tex3]x'[/tex3] ao invés dos x:
[tex3]x_e'=\frac{(ax_a+by_a+c)\sin(2\alpha)+(ax_b+by_b+c)\sin(2\beta)+(ax_c+by_c+c)\sin(2\gamma)}{\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)}=\frac{a(x_a \sin(2\alpha)+x_b \sin(2\beta)+x_c \sin(2\gamma))+b(y_a \sin(2\alpha)+y_b \sin(2\beta)+y_c \sin(2\gamma))+c(\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma))}{\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)}=ax_O+by_O+c=x_O'.[/tex3]
Então [tex3]x_e'= x_O',[/tex3] e analogamente para [tex3]y_O'.[/tex3] Então de fato a validade da fórmula independe do sistema de coordenadas escolhido (isso é um caso particular do fato de que equações puramente tensoriais independem do sistema de referência usado para representar os tensores).
Por isso, vou escolher o seguinte sistema de coordenadas (x, y) bastante conveniente:
Temos [tex3]x_O=R \cos(90 \degree -\gamma)=R \sin(\gamma), \; \; \; y_O=R \sin(90 \degree - \gamma)=R \cos(\gamma).[/tex3]
[tex3]A=(0, \; 0), \; \; B=(b, \; 0), \; \; C=(b \cos(\alpha), \; b\sin(\alpha)). [/tex3]
Vamos calcular então [tex3]y_e=\frac{y_a \sin(2\alpha)+y_b \sin(2\beta)+y_c \sin(2\gamma)}{\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)}=\frac{b \sin(\alpha) \sin(2\gamma)}{\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)}.[/tex3] (1)
Pela lei extendida dos senos, [tex3]b=2R \sin(\beta).[/tex3] Além disso, somando as áreas dos 3 triângulos isósceles com vértice no ponto O, temos [tex3]\frac{R^2(\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma))}{2}=S \Longrightarrow \sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)=\frac{2S}{R^2},[/tex3] sendo S a área do triângulo ABC.
Ademais, podemos usar a fórmula [tex3]S=\frac{abc}{4R},[/tex3] de onde obtemos então [tex3]\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)=\frac{abc}{2R^3}.[/tex3]
Inserindo esses resultados na equação (1): [tex3]y_e=\frac{4R^4 \sin(\beta) \sin(2\gamma)\sin(\alpha)}{abc}.[/tex3]
Usando [tex3]\frac{\sin(\alpha)}{a}=\frac{\sin(\beta)}{b}=\frac{2}{R}:[/tex3]
[tex3]y_e=\frac{R^2 \sin(2\gamma)}{c}=\frac{R^2 \cdot 2 \sin(\gamma)\cos(\gamma)}{c}=2R^2 \cdot \frac{1}{2R} \cdot \cos(\gamma)=R \cos(\gamma).[/tex3]
Então [tex3]y_e=y_O.[/tex3] Agora só falta fazer a conta para x, que é um pouco mais difícil.
[tex3]x_e=\frac{x_a \sin(2\alpha)+x_b \sin(2\beta)+x_c \sin(2\gamma)}{\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)}=\frac{4R^4(\sin(\gamma)\sin(2\beta)+\sin(\beta)\cos(\alpha)\sin(2\gamma))}{8R^3\sin(\alpha)\sin(\beta)\sin(\gamma)}.[/tex3]
Usando [tex3]\sin(2\beta)=2\sin(\beta) \cos(\beta)[/tex3] e a mesma identidade para [tex3]\sin(2\gamma):[/tex3]
[tex3]x_e=\frac{R(\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cos(\gamma))}{\sin(\alpha)}.[/tex3]
Ademais, [tex3]\cos(\alpha+ \gamma)=\cos(\alpha) \cos(\gamma)-\sin(\alpha) \sin(\gamma).[/tex3]
Mas [tex3]\cos(\alpha+\gamma)=\cos(\pi - \beta)=-\cos(\beta),[/tex3] então [tex3]\cos(\alpha) \cos(\gamma)=\sin(\alpha)\sin(\gamma)-\cos(\beta),[/tex3] daí:
[tex3]x_e=\frac{R \sin(\alpha) \sin(\gamma)}{\sin(\alpha)}=R \sin(\gamma).[/tex3] Então [tex3]x_e=x_O[/tex3] e a fórmula está demonstrada.
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Mai 2024
03
11:23
Re: (IME/ITA) Geometria Analítica
Jpgonçalves,
PAra conhecimento, outra maneira
(Solução:gopal singh Negi)
PAra conhecimento, outra maneira
(Solução:gopal singh Negi)
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