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Demonstre que as coordenadas do circuncentro C de um triângulo A,B e C (não-retângulo) podem ser dadas por

[tex3]C = \frac{A.sen(2\alpha) + B.sen(2\beta) + C.sen(2\gamma)}{sen(2\alpha) + sen(2\beta) + sen(2\gamma)}[/tex3]

Mensagem não lida por **παθμ** » Hoje, 00:18

Jpgonçalves, minha solução se fundamenta no fato de que a validade dessa fórmula em um sistema de coordenadas cartesiano implica na validade dela em qualquer outro sistema no mesmo plano. Suponha que ela seja válida em um determinado sistema de coordenadas S. A lei de transformação de um ponto [tex3]i[/tex3] para um sistema S' é da forma [tex3]x'_{i}=ax_i+by_i+c[/tex3] e [tex3]y'_{i}=dx_i+ey_i+f.[/tex3]

Sendo O o circuncentro:

[tex3]x_O=\frac{x_a \sin(2\alpha)+x_b \sin(2\beta)+x_c \sin(2\gamma)}{\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)},[/tex3] e analogamente para [tex3]y_O.[/tex3]

Sendo [tex3]x_e'[/tex3] o valor da expressão acima, mas usando os [tex3]x'[/tex3] ao invés dos x:

[tex3]x_e'=\frac{(ax_a+by_a+c)\sin(2\alpha)+(ax_b+by_b+c)\sin(2\beta)+(ax_c+by_c+c)\sin(2\gamma)}{\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)}=\frac{a(x_a \sin(2\alpha)+x_b \sin(2\beta)+x_c \sin(2\gamma))+b(y_a \sin(2\alpha)+y_b \sin(2\beta)+y_c \sin(2\gamma))+c(\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma))}{\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)}=ax_O+by_O+c=x_O'.[/tex3]

Então [tex3]x_e'= x_O',[/tex3] e analogamente para [tex3]y_O'.[/tex3] Então de fato a validade da fórmula independe do sistema de coordenadas escolhido (isso é um caso particular do fato de que equações puramente tensoriais independem do sistema de referência usado para representar os tensores).

Por isso, vou escolher o seguinte sistema de coordenadas (x, y) bastante conveniente:

: d0adc10f-aee9-45ff-a192-56452e44a1c1.jpg (8.61 KiB) Exibido 26 vezes

Temos [tex3]x_O=R \cos(90 \degree -\gamma)=R \sin(\gamma), \; \; \; y_O=R \sin(90 \degree - \gamma)=R \cos(\gamma).[/tex3]

[tex3]A=(0, \; 0), \; \; B=(b, \; 0), \; \; C=(b \cos(\alpha), \; b\sin(\alpha)). [/tex3]

Vamos calcular então [tex3]y_e=\frac{y_a \sin(2\alpha)+y_b \sin(2\beta)+y_c \sin(2\gamma)}{\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)}=\frac{b \sin(\alpha) \sin(2\gamma)}{\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)}.[/tex3] (1)

Pela lei extendida dos senos, [tex3]b=2R \sin(\beta).[/tex3] Além disso, somando as áreas dos 3 triângulos isósceles com vértice no ponto O, temos [tex3]\frac{R^2(\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma))}{2}=S \Longrightarrow \sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)=\frac{2S}{R^2},[/tex3] sendo S a área do triângulo ABC.

Ademais, podemos usar a fórmula [tex3]S=\frac{abc}{4R},[/tex3] de onde obtemos então [tex3]\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)=\frac{abc}{2R^3}.[/tex3]

Inserindo esses resultados na equação (1): [tex3]y_e=\frac{4R^4 \sin(\beta) \sin(2\gamma)\sin(\alpha)}{abc}.[/tex3]

Usando [tex3]\frac{\sin(\alpha)}{a}=\frac{\sin(\beta)}{b}=\frac{2}{R}:[/tex3]

[tex3]y_e=\frac{R^2 \sin(2\gamma)}{c}=\frac{R^2 \cdot 2 \sin(\gamma)\cos(\gamma)}{c}=2R^2 \cdot \frac{1}{2R} \cdot \cos(\gamma)=R \cos(\gamma).[/tex3]

Então [tex3]y_e=y_O.[/tex3] Agora só falta fazer a conta para x, que é um pouco mais difícil.

[tex3]x_e=\frac{x_a \sin(2\alpha)+x_b \sin(2\beta)+x_c \sin(2\gamma)}{\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)}=\frac{4R^4(\sin(\gamma)\sin(2\beta)+\sin(\beta)\cos(\alpha)\sin(2\gamma))}{8R^3\sin(\alpha)\sin(\beta)\sin(\gamma)}.[/tex3]

Usando [tex3]\sin(2\beta)=2\sin(\beta) \cos(\beta)[/tex3] e a mesma identidade para [tex3]\sin(2\gamma):[/tex3]

[tex3]x_e=\frac{R(\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cos(\gamma))}{\sin(\alpha)}.[/tex3]

Ademais, [tex3]\cos(\alpha+ \gamma)=\cos(\alpha) \cos(\gamma)-\sin(\alpha) \sin(\gamma).[/tex3]

Mas [tex3]\cos(\alpha+\gamma)=\cos(\pi - \beta)=-\cos(\beta),[/tex3] então [tex3]\cos(\alpha) \cos(\gamma)=\sin(\alpha)\sin(\gamma)-\cos(\beta),[/tex3] daí:

[tex3]x_e=\frac{R \sin(\alpha) \sin(\gamma)}{\sin(\alpha)}=R \sin(\gamma).[/tex3] Então [tex3]x_e=x_O[/tex3] e a fórmula está demonstrada.

Mensagem não lida por **petras** » Hoje, 11:23

Jpgonçalves,

PAra conhecimento, outra maneira

(Solução:gopal singh Negi)

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