Ensino Médio ⇒ Áreas e triângulos inscritos Tópico resolvido

[papirador]

Na figura abaixo, calcule o raio do círculo de centro O, sabendo que o triângulo ABC é isósceles de base AB e que as áreas dos triângulos ACH e ABH valem respectivamente 10cm² e 16cm².

a)(2√78)/9
b)(4√78)/9
c)(5√78)/9
d)(7√78)/9
e)(8√78)/9

Resposta

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você é o gabarito

[Pedro56]

Recomendo acompanhar a figura ao longo da resolução.
Em primeira análise, fazemos proporcionalidade de áreas e bases para uma mesma altura, no triângulo ACH e ABH:
CH/10=BH/16, simplificando, CH/5=BH/8
CH=5k e BH= 8k.
Agora, chamando o ponto de intercessão entre a altura e o segmento AH de P, o pé da altura de V e a base de 2x, temos que, por teorema de menelaus, (5k/8k)*(2x/x)*(VP/PC)=1
Simplificando:
(5*VP)/(4*PC) =1
VP/4=PC/5, assim: VP=4L e PC=5L.
Percebemos que PC=AP=R.
Agora do triângulo APV temos hipotenusa 5L e cateto 4L, portanto o x na questão vale 3L.
Área é 2*3L*9L/2=26
L=sqrt(26/27) racionalizando:
L=(sqrt(78))/9
R=5L=5(sqrt(78))/9
Gabarito C.