a)17
b)18
c)19
d)20
e)22
Resposta
c
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Ensino Médio ⇒ Números primos e mdc Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Abr 2024
04
18:15
Números primos e mdc
Sabendo que abcd representa um número par, de quatro algarismos e abdc representa um número ímpar, com os mesmos quatro algarismos. Sabe-se ainda que o produto de a, b, c e d vale 30k, com k inteiro positivo, o máximo divisor comum entre os algarismos b e d é a ,ou seja, MDC(b, d)=a e que o produto de √b e d vale a + c. Determine o valor de a+b+c+d.
a)17
b)18
c)19
d)20
e)22
c
a)17
b)18
c)19
d)20
e)22
c
-
LostWalker
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Abr 2024
04
21:24
Re: Números primos e mdc
Descrições Iniciais
[tex3]\mbox{I.}~~a\cdot b\cdot c\cdot d=30k, ~~k\ne0~~~\therefore~~~\{a,b,c,d\}\ne0[/tex3]
[tex3]\mbox{II.}~~\{a,b,c,d\}\in\underbrace{\{1,2,3,\cdots,9\}}_{\mbox{Conjunto P}}~~~\therefore~~~a+c=\sqrt b\cdot d\in \mathbb{N}~~~\therefore~~~b=\{1,4,9\}[/tex3]
[tex3]\mbox{III.}~~a\cdot b\cdot c\cdot d=2\cdot3\cdot5\cdot k[/tex3]
Como [tex3]5[/tex3] é o único múltiplo de [tex3]5[/tex3] em [tex3]P[/tex3] , um das variáveis é [tex3]5[/tex3] , logo, ou [tex3]a[/tex3] ou [tex3]c[/tex3] é [tex3]5[/tex3]
[tex3]\mbox{IV.}~~\underbrace{\sqrt{b}\cdot d}_{\mbox{par}}=\underbrace{a+c}_{\mbox{par}}~~~\therefore ~~~ a\mbox{ é impar}[/tex3]
[tex3]\mbox{V.}~~\MDC(b,d)=a~~~\therefore~~~\mbox{se a é impar e d é par, b é impar, por II, b é 1 ou 9}[/tex3]
[tex3]\mbox{VI.}~~\MDC(b,d)=a~~~\therefore~~~~ \cases{\mbox{se b = 1 então a = 1}\\\mbox{se b = 9 então a = {1,3}}}[/tex3]
[tex3]\mbox{VII.}~~\mbox{Por III, temos então que c = 5}[/tex3]
Checando Possibilidades
[tex3]\mbox{Se b = 1}[/tex3]
[tex3]\sqrt{1}\cdot d=1+5~~~\therefore~~~d=6[/tex3]
[tex3]\mbox{Se b = 9 e a = 1}[/tex3]
[tex3]\sqrt{9}\cdot d=1+5~~~\therefore~~~d=2[/tex3]
[tex3]\mbox{Se b = 9 e a = 3}[/tex3]
[tex3]\sqrt{9}\cdot d=3+5~~~\therefore~~~d=\emptyset [/tex3]
Testando Valores por III
[tex3](a,b,c,d)=(1,1,5,6)~~~\therefore~~~a\cdot b\cdot c\cdot d=30~{\color{Green}\checkmark}[/tex3]
[tex3](a,b,c,d)=(1,9,5,2)~~~\therefore~~~a\cdot b\cdot c\cdot d=30\cdot3~{\color{Green}\checkmark}[/tex3]
Então, temos as somas [tex3]13[/tex3] e [tex3]17[/tex3] , mas nenhumas delas corresponde ao gabarito...
[tex3]\mbox{I.}~~a\cdot b\cdot c\cdot d=30k, ~~k\ne0~~~\therefore~~~\{a,b,c,d\}\ne0[/tex3]
[tex3]\mbox{II.}~~\{a,b,c,d\}\in\underbrace{\{1,2,3,\cdots,9\}}_{\mbox{Conjunto P}}~~~\therefore~~~a+c=\sqrt b\cdot d\in \mathbb{N}~~~\therefore~~~b=\{1,4,9\}[/tex3]
[tex3]\mbox{III.}~~a\cdot b\cdot c\cdot d=2\cdot3\cdot5\cdot k[/tex3]
Como [tex3]5[/tex3] é o único múltiplo de [tex3]5[/tex3] em [tex3]P[/tex3] , um das variáveis é [tex3]5[/tex3] , logo, ou [tex3]a[/tex3] ou [tex3]c[/tex3] é [tex3]5[/tex3]
[tex3]\mbox{IV.}~~\underbrace{\sqrt{b}\cdot d}_{\mbox{par}}=\underbrace{a+c}_{\mbox{par}}~~~\therefore ~~~ a\mbox{ é impar}[/tex3]
[tex3]\mbox{V.}~~\MDC(b,d)=a~~~\therefore~~~\mbox{se a é impar e d é par, b é impar, por II, b é 1 ou 9}[/tex3]
[tex3]\mbox{VI.}~~\MDC(b,d)=a~~~\therefore~~~~ \cases{\mbox{se b = 1 então a = 1}\\\mbox{se b = 9 então a = {1,3}}}[/tex3]
[tex3]\mbox{VII.}~~\mbox{Por III, temos então que c = 5}[/tex3]
Checando Possibilidades
[tex3]\mbox{Se b = 1}[/tex3]
[tex3]\sqrt{1}\cdot d=1+5~~~\therefore~~~d=6[/tex3]
[tex3]\mbox{Se b = 9 e a = 1}[/tex3]
[tex3]\sqrt{9}\cdot d=1+5~~~\therefore~~~d=2[/tex3]
[tex3]\mbox{Se b = 9 e a = 3}[/tex3]
[tex3]\sqrt{9}\cdot d=3+5~~~\therefore~~~d=\emptyset [/tex3]
Testando Valores por III
[tex3](a,b,c,d)=(1,1,5,6)~~~\therefore~~~a\cdot b\cdot c\cdot d=30~{\color{Green}\checkmark}[/tex3]
[tex3](a,b,c,d)=(1,9,5,2)~~~\therefore~~~a\cdot b\cdot c\cdot d=30\cdot3~{\color{Green}\checkmark}[/tex3]
Então, temos as somas [tex3]13[/tex3] e [tex3]17[/tex3] , mas nenhumas delas corresponde ao gabarito...
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
-Melly
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