Ensino Médio ⇒ Terno de inteiros positivos Tópico resolvido

[papirador]

Seja (a,b,c) um terno de inteiros positivos tais que a² + b - c =100 e a + b² - c = 124. A soma de a+b+c é:
a)80
b)82
c)84
d)86
e)88

Resposta

---

você é o gabarito

[petras]

papirador,

[tex3]a^2+b-c =100(I)\\
a+b^2-c=124(II)\\
(II)-(I): a-a^2+b^2-b=24\\
a-b+(b-a)(b+a)=24 \implies (b-a)(b+a)-(b-a)=24\\
\therefore (b-a)(b+a-1)=24\\
(24:1)(12:2)(8:3)(6:4)\\
Testando:\\
b-a=1\\
b+a-1 = 24\\
\therefore b=13:a=12 \implies 144+13-100 = c \therefore c = 57\\
12+169-124 = c \therefore c = 57 \checkmark\\
13+12+57 =\boxed{82}\\
b-a = 2:b+a = 13,\\
b-a=3:b+a=9 \implies b=6:a=3 \therefore c = 9+6 - 100=\cancel{-85} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2+b-c =100(I)\\
a+b^2-c=124(II)\\
(II)-(I): a-a^2+b^2-b=24\\
a-b+(b-a)(b+a)=24 \implies (b-a)(b+a)-(b-a)=24\\
\therefore (b-a)(b+a-1)=24\\
(24:1)(12:2)(8:3)(6:4)\\
Testando:\\
b-a=1\\
b+a-1 = 24\\
\therefore b=13:a=12 \implies 144+13-100 = c \therefore c = 57\\
12+169-124 = c \therefore c = 57 \checkmark\\
13+12+57 =\boxed{82}\\
b-a = 2:b+a = 13,\\
b-a=3:b+a=9 \implies b=6:a=3 \therefore c = 9+6 - 100=\cancel{-85} [/tex3]

Os outros casos serão fracionários