Ensino Médio ⇒ trigonometria Tópico resolvido

[gabrielmacc]

33) Determine o conjunto solução da equação
sen 3x + sen 4x = sen 7x

usei prostaferese do lado esquerdo e arco duplo no direito, mas na hora das soluções errei alguma coisa

Resposta

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33) x =2kπ/7
ou x =2kπ/3
ou x =kπ/2

[ProfLaplace]

Eai, tudo bem?? Eu seguiria sua mesma ideia:
[tex3]2\sen{\frac{7x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}=2\sen{\frac{7x}{2}}\cos{\frac{7x}{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\sen{\frac{7x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}=2\sen{\frac{7x}{2}}\cos{\frac{7x}{2}}[/tex3]

.
Passa tudo pro mesmo lado e coloca o seno em evidência:
[tex3]\sen{\frac{7x}{2}}\cdot(\cos{\frac{7x}{2}}-\cos{\frac{x}{2}})=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen{\frac{7x}{2}}\cdot(\cos{\frac{7x}{2}}-\cos{\frac{x}{2}})=0[/tex3]

Pode-se usar prostaférese novamente:
[tex3]\sen{\frac{7x}{2}}\cdot(-2\sen{2x}\sen{\frac{3x}{2}})=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen{\frac{7x}{2}}\cdot(-2\sen{2x}\sen{\frac{3x}{2}})=0[/tex3]

[tex3]\sen{\frac{7x}{2}}\cdot\sen{2x}\cdot\sen{\frac{3x}{2}}=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen{\frac{7x}{2}}\cdot\sen{2x}\cdot\sen{\frac{3x}{2}}=0[/tex3]

Se o produto resulta em zero, então algum termo é zero. É só igualar cada um dos senos a zero e resolver:
i) [tex3]\sen{\frac{7x}{2}}=0\Rightarrow \frac{7x}{2}=k\pi \Rightarrow x=\frac{2k\pi}{7}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen{\frac{7x}{2}}=0\Rightarrow \frac{7x}{2}=k\pi \Rightarrow x=\frac{2k\pi}{7}[/tex3]

(k inteiro).
ii) [tex3]\sen{2x}=0\Rightarrow 2x=k\pi \Rightarrow x=\frac{k\pi}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen{2x}=0\Rightarrow 2x=k\pi \Rightarrow x=\frac{k\pi}{2}[/tex3]

(k inteiro).
iii) [tex3]\sen{\frac{3x}{2}}=0\Rightarrow \frac{3x}{2}=k\pi \Rightarrow x=\frac{2k\pi}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen{\frac{3x}{2}}=0\Rightarrow \frac{3x}{2}=k\pi \Rightarrow x=\frac{2k\pi}{3}[/tex3]

(k inteiro).

[tex3]S=\{x\in\mathbb{R} / x=\frac{2k\pi}{7} \vee x=\frac{k\pi}{2} \vee x=\frac{2k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z} \} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S=\{x\in\mathbb{R} / x=\frac{2k\pi}{7} \vee x=\frac{k\pi}{2} \vee x=\frac{2k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z} \} [/tex3]

[gabrielmacc]

muito obrigado, vc tem me ajudado bastante nos meus estudos