Ensino Médio ⇒ trigonometria Tópico resolvido

[gabrielmacc]

18) Solucione a equação
sen x - cos x=[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

[petras]

[tex3]sen(x)-cos(x) = \sqrt2(\frac{1.senx}{\sqrt2}-\frac{1.cosx}{\sqrt2} )= \\
\sqrt2(\underbrace{cos \frac{\pi}{4}.senx-sen\frac{\pi}{4}.cosx)}_{sen(x-\frac{\pi}{4})}=\\
\sqrt2(sen(x-\frac{\pi}{4}))=\sqrt2 \implies sen(x-\frac{\pi}{4}) = 1\\
x-\frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{2}+ 2k\pi \implies \boxed{x = \frac{3\pi}{4}+2k\pi}



[/tex3]

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[tex3]sen(x)-cos(x) = \sqrt2(\frac{1.senx}{\sqrt2}-\frac{1.cosx}{\sqrt2} )= \\
\sqrt2(\underbrace{cos \frac{\pi}{4}.senx-sen\frac{\pi}{4}.cosx)}_{sen(x-\frac{\pi}{4})}=\\
\sqrt2(sen(x-\frac{\pi}{4}))=\sqrt2 \implies sen(x-\frac{\pi}{4}) = 1\\
x-\frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{2}+ 2k\pi \implies \boxed{x = \frac{3\pi}{4}+2k\pi}



[/tex3]

[10Adriano]

Elevando ao quadrado ambos os membros, fica:
[tex3]sen^{2}(x)-2sen(x)cos(x)+cos^{2}(x)=2[/tex3]

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[tex3]sen^{2}(x)-2sen(x)cos(x)+cos^{2}(x)=2[/tex3]

Pela relação fundamental, fica:
[tex3]1-2sen(x)cos(x)=2\quad\to\quad 2sen(x)cos(x)=-1[/tex3]

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[tex3]1-2sen(x)cos(x)=2\quad\to\quad 2sen(x)cos(x)=-1[/tex3]

[tex3]\to\quad sen(2x)=-1[/tex3]

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[tex3]\to\quad sen(2x)=-1[/tex3]

[tex3]2x=\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}[/tex3]

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[tex3]2x=\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}[/tex3]

[tex3]x=\dfrac{3\pi}{4}+k\pi, k\in\mathbb{Z}[/tex3]

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[tex3]x=\dfrac{3\pi}{4}+k\pi, k\in\mathbb{Z}[/tex3]

ATENÇÃO!
Como elevamos a equação ao quadrado, isso vez aparecer outras soluções. Contudo devemos nos ater a primeira equação.
Nessa equação o Cosseno precisa ser negativo e o Seno positivo, ou seja o ângulo precisa esta no segundo quadrante.
Logo a solução é:
[tex3]S=\left\{x\in\mathbb{R}\:|\:x=\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}\right\}[/tex3]

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[tex3]S=\left\{x\in\mathbb{R}\:|\:x=\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}\right\}[/tex3]